Topologia no plano complexo

Ovídio Filho

A topologia de conjuntos no Corpo dos complexos é determinada pela existência de uma norma

$|z|=\sqrt{z\bar z} \,$

que induz uma distância entre dois complexos

$d(z,z_0)=|z-z_0| \,$ .

Por topologia entende-se a família dos conjuntos abertos, i.e., para qualquer ponto existe uma bola aberta centrada no ponto

$|z-z_0|<\epsilon \,$

que está contida no conjunto.

Espaço normado => Espaço métrico => Topologia

no corpo complexo uma circunferência pode ser definida por:

Exemplos:

$|z|=1 \,$

é a circunferência centrada na origem e de raio 1.

$|z-i|=2 \,$

é a circunferência centrada em i e de raio 2.

Uma bola de raio é definida por

$|z-z_0|<\epsilon \,$

Dizemos que um ponto é interior a um conjunto se existe uma bola aberta centrada no ponto

$|z-z_0|<\epsilon \,$

que está contida no conjunto.

Um conjunto aberto é assim aquele em que todos os pontos são interiores.

Ex: Vazio,

$\mathbb{C}, Re(z)>0 \,$ .

Mas

$Re(z)\ge 0 \,$

não é aberto.

· O conjunto de todos os pontos interiores de um conjunto formam um conjunto aberto chamado de interior.

· O exterior de um conjunto é o conjunto de pontos para cada um dos quais existe uma bola inteiramente fora do conjunto inicial.

· A fronteira é o conjunto de pontos que não pertencem nem ao interior nem ao exterior.

· Também podemos definir pontos de fronteira como aqueles que em qualquer vizinhança (conjunto que contém uma bola aberta centrada no ponto), está contido pelo menos um ponto que não pertence ao conjunto.

· Um conjunto que contém todos os seus pontos fronteira diz-se fechado.

Mais alguns exemplos de conjuntos abertos:

Conjunto conexo

Se, num conjunto aberto, qualquer par de pontos pode ser ligado por uma linha poligonal inteiramente contida no domínio, diz-se que esse conjunto é conexo.

Domínio

Um conjunto aberto conexo diz-se um domínio.

Região

Uma região é a reunião de um domínio com um, vários ou todos dos seus pontos fronteira.