Raízes complexas

Ovídio Filho

A forma potencial também auxilia bastante o cálculo das raízes de um número complexo.

Vamos determinar os valores de $w \,$ para os quais $w^n=z \,$ .

Vamos assumir que

$z=r e^{i\theta}, \; w=\rho e^{i\phi} \,$ ,

do que resulta:

$\rho^n e^{in\phi}=r e^{i\theta} \,$

de onde vem que:

$\rho=r^{\frac{1}{n}} \,$

como raiz positiva de um número positivo.

Temos ainda que

$n\phi = \theta + 2 k \pi \,$

ou seja

$\phi = \frac{\theta + 2 k \pi}{n} \,$

com k entre 0 r n-1 de forma a que para $\theta \in [0,2\pi[ \,$

Temos que

$\phi \in [0,2\pi[ \,$

pois:

$\frac{\theta + 2 (n-1) \pi}{n} < 2\pi \,$

Teorema:

Um número complexo não nulo tem assim sempre n raizes-n distintas dadas por
$r^{\frac{1}{n}} e^{\frac{\theta + 2ik\pi}{n}} \,$ com k=0,..., n-1.

Exemplo a raiz cúbica de são ilustradas na figura abaixo: