Forma Polar e Exponencial

Ovídio Filho

Para o calculo de potências e raízes torna-se preferível utilizar a forma em coordenadas polares

$z=(x,y)\rightarrow (r,\theta) \,$

Forma Polar ou trigonométrica

O número complexo é escrito como:

$z= x+i y = r (\cos \theta + i \sin \theta) \,$

A figura justifica a forma polar acima onde

A formula anterior permite determinar a forma cartesiana a partir da forma polar de um complexo.

Para determinar a forma polar a partir da cartesiana podemos ver que:

$r= |z| \,$ (módulo de z)

$\theta=\arctan(\frac{y}{x})+2n\pi \,$ (Argumento de z)

$[0,\pi] \,$ se y>0 e $[\pi,2\pi] \,$ se y<0

$[0,\pi] \,$ se y>0 e $[-\pi,0] \,$ se y<0

$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \,$ se x>0 e $[\frac{\pi}{2},\pi] \, \cup \, ]-\pi,-\frac{\pi}{2}] \,$ se x<0, pois

$\frac{y}{x} = \frac{r \sin \theta}{r \sin\theta } \,$

Exemplo:

Escrevemos $1-\sqrt{3} i \,$ , como $\tan(\theta)=-\sqrt{3} \,$ .

Veja a figura

Forma Exponencial

Da definição da série associada à função exponencial e as expansões em série de Taylor do seno e coseno, vem que:

$e^{iy} \,$	=	$\sum_{n=0}^\infty \frac{(iy)^n}{n!} \,$
$e^{iy} \,$	=	$1+iy+\frac{(iy)^2}{2!}+\frac{(iy)^3}{3!} + \frac{(iy)^4}{4!}+ \frac{(iy)^5}{5!} + \frac{(iy)^6}{6!}+\cdots \,$
$e^{iy} \,$	=	$\left( 1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!} + \cdots \right) + i \left(y+-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!} - \frac{y^7}{7!} +\cdots \right) \,$
$e^{iy} \,$	=	$\cos y + i \sin y \,$

Assim, também podemos expressar um número complexo na forma exponencial