Álgebra dos Complexos

Ovídio Filho

O Corpo dos Complexos

$\mathbb C \,$

pode ser construído a partir de

$\mathbb{R}^2 \,$

Onde

$z= (x, y) \,$ ,

está definida a:

Relação de Igualdade

$z_1=z_2 \,$

se e só se

$\operatorname{Re}(z_1)=\operatorname{Re}(z_2) \,$

$\operatorname{Im}(z_1)=\operatorname{Im}(z_2) \,$ .

mas não existe nenhuma relação de ordem

$z_1 < z_2 \,$ .

Para definir o Corpo dos Complexos,

$\mathbb C \,$

temos ainda de definir as operações:

Soma

$z_1+z_2 = (x_1+ i y_1 ) + (x_2 + i y_2 ) = (x_1 +x_2 ) + i ( y_1 +y_2) \,$

Produto:

$z_1 \cdot z_2 = (x_1+ i y_1 ) * (x_2 + i y_2 ) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i ( y_1 x_2 + x_1 y_2) \,$

De forma a que:

todos os complexos têm simétrico.

todos os complexos não nulos têm inverso.

Subtração

$z_1-z_2 = (x_1+ i y_1 ) - (x_2 + i y_2 ) = (x_1 -x_2 ) + i ( y_1 -y_2) \,$

Divisão:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+ i y_1}{x_2 + i y_2 }= \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1 x_2 - x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2} \,$

O fato dos Números Complexos formarem um corpo significa ainda que são válidas:

· Propriedade comutativa para a soma e produto:

$z_1 z_2 = z_2 z_1 \,$

· Propriedade associativa para a soma e produto:

$z_1(z_2 + z_3)=z_1 z_2 + z_1 z_3 \,$