Posto de uma matriz

Ovídio Filho

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Dependência e independência linear de vetores

 

Em R2  dois vetores  u = (a , b)  e  v = (c , d)  são linearmente independentes quando não são proporcionais, ou seja, não existe nenhum número real  β  que verifique:  u = β . v.

Exemplo:  u = (3 , 5)   e   v = (9 ,  6)  são linearmente independentes já que não são proporcionais.

Em  R2  dois vetores  u = (a , b)  e  v = (c , d)  são linearmente dependentes quando são proporcionais, ou seja, existe um número real  β  que verifica:  u = β . v.

Exemplo:  u = (3 , 5)   e   v = (9 ,  15)  são linearmente dependentes já que são proporcionais:  v = 3 . u

Em  R3  três vetores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   e   w = (x , y , z)  são linearmente independentes quando deles pode ser escrito como combinação linear dos restantes, ou seja, não existem números reais  δ  e  β  que verifiquem: u = δ . v + β . w.

 Exemplo:  u = (1 , 2 , 3),   v = (3 , 5 , 7)  e   w = (4 , 6 , 5)  são linearmente independentes pois não existem números reais    δ  e  β  que verifiquem:  u = δ . v + β . w. Se existissem:

(1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  ou seja,  (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o que é a mesma coisa que:

1 = 3δ + 4β;   2 = 5δ + 6β;   3 = 7δ + 5β;   porém este sistema de três equações com duas incógnitas é  incompatível, ou seja, não tem ssolução, o que é equivalente a dizer que não existem os números  δ  e  β   que satisfaçam esta igualdade.

Em  R3  três vetores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   e   w = (x , y , z)  são linearmente dependentes quando algum deles podem ser escrito como combinação lineardos restantes,ou seja, existem números reais  δ  e  β  que satisfazem:  u = δ . v + β . w.

Exemplo:  u = (18 , 28 , 29),   v = (3 , 5 , 7)  e   w = (4 , 6 , 5)  são linearmente dependentes já que existem números reais  δ  e  β  que satisfazem:  u = δ . v + β . w.

(18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  ou seja,  (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o que equivale a:

18 = 3δ + 4β;   28 = 5δ + 6β;   29 = 7δ + 5β;    Resolvendo este sistema obtemos:  δ = 2   y  β = 3.  Portanto:

(18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5)

Em geral, um conjunto de vetores é linearmente independente quando nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos restantes e é linearmente dependente quando ocorre o contrário, ou seja, quando algum deles pode ser escrito como combinação linear dos demais.

Posto de matrizes

Em uma matriz podemos considerar que as linhas ou as colunas são vetores. Chamamos posto de una matriz  A  ao número de limhas (ou colunas) linearmente independentes. Representamos por  rg (A). Em qualquer matriz o número de linhas linearmente independentes coincide com o número de colunas linearmente independentes. O valor máximo do posto de uma matriz é menor que os números correspondentes ao número de linhas e colunas, ou seja, se uma matriz tem dimensão  3 x 5, o valor máximo que pode alcançar o posto desta matriz é  3  ( pois 3 = mínimo {3 , 5} ).

A única matriz que tem posto  0  é a matriz nula. Qualquer outra matriz terá posto maior ou igual a  1.

A matriz  A  tem posto  3  pois nenhuma linha ou coluna pode ser escrita como combinação linear das restantes. Já a matriz   B  tem posto  2,  uma vez que as duas primeiras linhas não são proporcionais, enquanto a terceira linha é igual a segunda linha menos o dobro da primeira linha e, neste caso, não pode ter posto  3, pois a terceira linha é combinação linear das outras duas linhas.

 

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/imagenes/matriz_9.png

 

Cálculo do posto de matrizes

O conceito de posto é bastante importante no estudo de sistemas lineares uma vez que a existência e o número de soluções dos mesmos estão relacionadas com o posto da matriz dos coeficientes e o posto das matriz ampliada como diz o Teorema de Frobenius que veremos posteriormente. Existem vários métodos para encontrar o posto de uma matriz. Vamos usar um método usando determinantes:

Seja  A  uma matriz de dimensão  m x n, eseja  h  um número natural tal que  1 ≤ h ≤ mínimo {m , n}. Chamamos menor de ordem  da matriz  A  ao determinante da matriz quadrada de ordem  h  que é obtida ao retirar  m - h  linhas  e  n - h  colunas da matriz  A.

Por exemplo, para a seguinte matriz de ordem  3 x 4  temos:

im_posto2.bmp

·         12 possíveis menores de ordem  1  (porque tem  12  elementos)

·         18 possíveis menores de ordem  2  (uma vez que podemos escolher 18  determinantes distintos de ordem  2)

im_posto1.bmp

·         4  possíveis menores de ordem  3  (já que podemos escolher 4  determinantes distintos de ordem  3)

im_posto3.bmp

 

O posto de uma matriz  A  é  h, quando A  tem um menor de ordem   h  distinto de zero e todos os menores de ordem  h + 1  são nulos.

O próximo MPD descreve, por meio de um exemplo, o procedimento utilizado para calcular o posto de uma matriz por meio de determinantes.

Clique em passos na parte superior do MPD.

 

O procedimento para encontrar o posto de uma matriz  A  qualquer, de dimensão  m x n, usando determinantes, é o seguinte:

·         Se algum elemento da matriz é diferente de zero, então seu posto é maior ou igual a 1. Caso contrário (matriz nula) oposto será  0.

·         Escolha, se existir, um menor de ordem  2  diferente de zero. Neste caso, o posto é maior que 2. Se não existir nenhum menor de ordem 2  diferente de zero, o posto da matriz será 1.

·         O menor de ordem  2  diferente de zero, obtido no passo anterior, andamos outra linha e outra coluna qualquer até encontrar, se existir, um menor de ordem   3  diferente de zero. Desta forma, oposto da matriz é maior ou igual que  3. Se todos os menores de ordem  3  são nulos, o posto da matriz será  2.

·         O menor de ordem  3  distinto de zero, obtido na etapa anterior, andamos outra linha ou outra coluna  quaisquer até encontrar, se existir, um menor de ordem  4  distinto de zero. Desta forma, o post da matriz é maior ou igual a 4. Se não existir nenhum menor de ordem  4  diferente de zero, o posto da matriz será   3.

·         Repete-se este processo até encontrar algum menor de ordem  h  ( 1 ≤ h ≤ mínimo {m , n} )  diferente de zero, e que todos os menores de ordem  h + 1  sejam nulos.

Este  MPD, encontra o posto de uma matriz qualquer de ordem menor que 5.

Para utilizá-lo, entre com a matriz usando as setinhas da parte inferior ou, caso digite com o teclado (números inteiros) aperte a tecla ENTER depois de digitar cada número. Caso a matriz tenha menos de 5 linhas ou colunas, complete as restantes com “zeros”. Clique, na parte superior os passos seguidos para o cálculo do posto da matriz.

Utilize o MPD para verificar propriedades e fazer exercícios.