Exercício 2

( Solução comentada )

Prof. Ovídio Filho

Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando têm as mesmas soluções, ou seja, toda solução do primeiro é também a solução do segundo e , reciprocamente, cada solução do segundo é também solução do primeiro.

1. É necessário que dois sistemas de equações equivalentes devam ter o mesmo número de equações? Justifique.

Não é necessário, pois podemos ter equações que são proporcionais ou combinação linear das outras equações. Neste caso, dizemos que são “equações supérfluas” e podemos retirá-las do sistema linear.

2. É necessário que dois sistemas de equações equivalentes devam ter o mesmo número de incógnitas? Justifique.

Sim. Caso isto não ocorra, os sistemas terão soluções diferentes, isto é, não são equivalentes.

3. Verifique se os seguintes sistemas de equações são equivalentes. Justifique cada caso:

I

Os sistemas são equivalentes, pois houve permutação, em todas equações, da ordem das incógnitas  x  e  y.

II

Os sistemas são equivalentes pois retiramos a quarta equação, que é a soma da primeira e segunda equações.

III

Os sistemas são equivalentes, uma vez que para passar do primeiro (azul) ao segundo (vermelho), multiplicamos a primeira equação por 3,  a segunda equação por  2  e a terceira por  -1.

IV

Os sistemas são equivalentes, uma vez que para passar do primeiro (azul) ao segundo (vermelho), a segunda equação subtraímos a primeira multiplicada por 3  e a terceira equação subtraímos a primeira multiplicada por 2.

V

Os sistemas são equivalentes, uma vez que somente permutamos a primeira equação pela terceira.

1. Nos Sistema Lineares III, aplique o Teorema de Frobenius para verificar a existência ou não de soluções e, caso tenha solução, resolva o de azul pelo método de Cramer e o de vermelho pelo método de Gauss.

Inicialmente, considere o Sistema Linear

Aplicando o Teorema de Frobenius,

Utilizando o Método de Cramer, temos a solução:

Vamos agora resolver o Sistema Linear abaixo, utilizando o Método de Gauss.

A matriz aumentada do Sistema Linear é

Obtemos a matriz

Obtemos a matriz

Obtemos a matriz

Portanto, a solução procurada será:

Observe que, como os sistemas Lineares são equivalentes, a solução dos mesmos são iguais, independente do método utilizado.

2. Caso exista, encontre a solução do seguinte sistema linear:

Na solução do sistema linear vamos utilizar o método de Gaus:

A matriz aumentada do sistema linear é:

Obtemos a matriz

Neste passo obtemos a matriz

Obtemos a matriz

Portanto, a solução procurada será:

Com