Teorema de Frobenius

Ovídio Filho

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Antes de iniciarmos os procedimentos para resolver um sistema de equações lineares, temos que dar respostas as seguintes perguntas:O sistema tem solução, ou seja, é compatível? Caso tenha solução: tem uma única solução ou infinitas? Para responder, uma das ferramentas que podemos utilizar é o Teorema de Fröbenius:

Consideremos um sistema de  m  equações lineares com  n  incógnitas, cuja expressão geral é da forma:

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Sejam  A  a matriz do sistema  e  A*  a matriz ampliada do sistema (com os termos independentes).

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A condição necessária e suficiente para que um sistema de  m  equações lineares com  n  incógnitas seja compatível é que o posto da matriz dos coeficientes ( A )  seja igual ao posto da matriz ampliada do sistema  ( A* ), ou seja,

posto (A) = posto (A*).

Se o valor comum dos postos coincide com o número de incógnitas, o sistema é compatível e determinado. Caso contrário,  o sistema compatível e indeterminado.

Em resumo:

·         Se posto (A) = posto (A*) = n (número de incógnitas), o sistema é  compatível e determinado (tem uma única solução).

·         Se posto (A) = posto (A*) < n (número de incógnitas), o sistema é compatível e  indeterminado (tem infinitas soluções).

·         Se posto (A) # posto (A*), o sistema é incompatível (não tem solução).

Um caso particular ó o dos sistemas homogêneos, ou seja, aqueles em que todos os termos independentes são zeros. Neste caso, as matrizes  A  e  A*  têm o mesmo posto uma vez que a matriz  A*  possui uma coluna de zeros, que podemos retirar para calcular o posto. Assim, posto (A) = posto (A*). Isto quer dizer que todos os sistemas homogêneos são sempre compatíveis:

·         Se posto (A) = n (número de incógnitas), o sistema é compatível e determinado. Tem uma única solução, que chamamos de solução trivial. É aquela em que todas as incógnitas são zeros.

·         Se posto (A) < n (número de incógnitas), o sistema é compatível e indeterminado (tem infinitas soluções).

Depois de realizar a “identificação do sistema", aplicaremos alguns dos métodos que discutiremos na sequência. Antes, vejamos algumas observações:

·         Se o sistema é compatível e determinado, o valor comum dos postos indica o número de equações principais, ou seja, aquelas que não dependem das restantes.

·         Se o sistema é compatível e indeterminado, (posto (A) = posto (A*) = k < n) o valor comum dos postos  ( k )  indica tanto o número de equações independentes ou principais, como o número de incógnitas principais. As incógnitas restantes  (não principais)  n - k  passaremos ao membro formando um único termo junto ao termo independente. Seguindo este procedimento obteremos um sistema de  k  equações lineares com  k incógnitas (principais), a qual aplicaremos um dos procedimentos que estudaremos na seqüência: Regra de Cramer, Método de Gauss ou, pela matriz inversa.

O próximo MPD auxilia na classificação de  sistema de equações lineares com até 5 equações, com até   5 incógnitas, aplicando o Teorema de Fröbenius:

 Escolha na parte superior o número de equações do sistema e o número de incógnitas. Para alterar o sistema, use as setinhas da parte superior ou, caso use o teclado, aperte a tecla ENTER depois de digitar cada número. Na parte superior, clique na setinha azul para obetr os passos necessários.

MPD  -  Teorema de Frobenius