Aplicações de Álgebra Linear

admin — Sat, 14 Mar 2009 20:06:33 +0000

Construindo curvas e superfícies por pontos especificados

Descrevemos uma técnica que utiliza determinantes para construir retas, círculos e seções cônicas em geral por pontos especificados no plano. O procedimento também é utilizado para fazer passar planos e esferas no espaço tridimensional por pontos fixados.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares, Determinantes e Geometria Analítica.

Redes elétricas

Discutimos as leis básicas dos circuitos elétricos e é mostrado como estas leis podem ser usadas para obter os sistemas de equações lineares cujas soluções fornecem as correntes que fluem num circuito elétrico.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares

Programação linear geométrica

É descrita uma técnica geométrica para maximizar ou minimizar uma expressão linear em duas variáveis sujeita a um conjunto de vínculos lineares.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares e Desigualdades Lineares.

O problema de alocação de tarefas

Certo número de instalações deverá receber tarefas distintas. Cada possível alocação de tarefas resulta em um certo custo. Descreveremos um algoritmo, denominado método húngaro, para encontrar uma alocação de tarefas de custo mínimo.

PRÉ-REQUISITOS: Notação Matricial

Interpolação spline cúbica

Utilizamos um utensílio de desenho artístico como um modelo físico para o problema matemático de encontrar uma curva que passa por pontos especificados do plano. Os parâmetros da curva são determinados pela resolução de um sistema linear de equações.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares, Álgebra Matricial e Cálculo Diferencial.

Cadeias de Markov

Descreveremos um modelo geral de um sistema que muda de estado para estado. Em seguida aplicamos o modelo a vários problemas concretos.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares, Matrizes e Compreensão Intuitiva de Limites.

Teoria de Grafos

Nós introduzimos representações matriciais das relações entre elementos de um conjunto e usamos a aritmética matricial para analisar estas relações.

PRÉ-REQUISITOS: Adição e Multiplicação de Matrizes.

Jogos de estratégia

Nós discutimos um jogo genérico no qual dois oponentes escolhem estratégias distintas para alcançar objetivos opostos. Em alguns casos, a estratégia ótima de cada jogador é encontrada com o uso de técnicas matriciais.

PRÉ-REQUISITOS: Multiplicação de Matrizes e Conceitos Básicos de Probabilidade.

Modelos econômicos de Leontief

Nós discutimos dois modelos lineares para sistemas econômicos e aplicamos alguns resultados sobre matrizes com entradas não-negativas para determinar as estruturas de preços de equilíbrio e a produção necessária para satisfazer a demanda.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares e Matrizes.

Administração de florestas

Nós discutimos um modelo matricial para administrar uma floresta cujas árvores são agrupadas em classes de acordo com a altura. Calculamos o rendimento sustentável ótimo de um corte periódico quando as árvores de diferentes classes de altura podem ter diferentes valores econômicos.

PRÉ-REQUISITOS: Operações com Matrizes.

Computação gráfica

Nós supomos que uma imagem de um objeto tridimensional é exibida num monitor de vídeo e mostramos como a álgebra matricial pode ser usada para obter novas imagens do objeto novas imagens do objeto de rotação, translação e homotetias.

PRÉ-REQUISITOS: Álgebra Matricial e Geometria Analítica.

Distribuição de temperatura de equilíbrio

O Veremos como pode ser encontrada a distribuição de temperatura de equilíbrio em uma placa trapezoidal quando são especificadas as temperaturas ao longo das arestas da placa. O problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.Também são descritas uma técnica iterativa para resolver o problema e uma abordagem do tipo “caminho aleatório” para o problema.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares, Matrizes e Compreensão Intuitiva de Limites.

Tomografia computadorizada

Veremos como a construção da imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da análise do escaneamento por raios x leva a um sistema linear inconsistente. Apresentamos uma técnica iterativa que fornece uma “solução aproximada” do sistema linear.

PRÉ-REQUISITOS: Sistemas Lineares, Logaritmos Naturais e Espaço Euclidiano Rⁿ.

Fractais

Iremos utilizar certas classes de transformações lineares para descrever e gerar conjuntos intrincados no plano euclidiano. Estes conjuntos, denominados fractais, são atualmente o foco de muita pesquisa matemática e científica.

PRÉ-REQUISITOS: Geometria de Operadores Lineares de R², Espaço Euclidiano Rⁿ, Logaritmos Naturais e Compreensão Intuitiva de Limites.

Caos

Nós usamos uma transformação do quadrado unitário do plano xy sobre si mesmo para descrever o conceito de aplicação caótica. Nós usamos uma transformação do quadrado unitário do plano xy sobre si mesmo para descrever o conceito de aplicação caótica.

PRÉ-REQUISITOS: Geometria de Operadores Lineares de R², Compreensão Intuitiva de Limites e Continuidade, Autovetores e Autovalores.

Criptografia

Apresentamos um método para codificar e decodificar mensagens. Nós também examinamos a aritmética modular e mostramos como a eliminação gaussiana pode ser utilizada, às vezes, para quebrar o código de um oponente.

PRÉ-REQUISITOS: Matrizes, Eliminação Gaussiana, Operações Matriciais, Independência Linear e Transformações Lineares.

Genética

Nós investigamos a propagação de uma característica herdada em sucessivas gerações calculando potências de matrizes.

PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e Autovalores, Diagonalização de uma Matriz e Compreensão Intuitiva de Limites.

Crescimento populacional por faixa etária

Nós utilizamos o modelo Leslie para investigar o crescimento ao longo do tempo de uma população feminina que está dividida em faixas etárias. Depois nós determinamos o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento populacional.

PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e Autovalores, Diagonalização de uma Matriz e Compreensão Intuitiva de Limites.

Colheitas de populações animais

Nós utilizamos o modelo matricial Leslie de crescimento populacional para modelar a colheita sustentável de populações animais. Também examinamos o efeito de colher frações diferentes de grupos etários diferentes.

PRÉ-REQUISITOS: Crescimento Populacional Por Faixa Etária.

Audição humana

Aplicamos o método da aproximação de mínimos quadrados a um modelo para a audição humana. O uso deste método é motivado por considerações de energia.

PRÉ-REQUISITOS: Espaços de Produto Interno, Projeção Ortogonal e Série de Fourier.

Deformações e morfismos

As deformações e os morfismos estão entre as mais interessantes técnicas de manipulação de imagens disponíveis para a computação gráfica. Nós mostramos como as deformações lineares podem ser usadas para distorcer uma única imagem para produzir uma deformação, ou como distorcer e amalgamar duas imagens para produzir um morfismo.

PRÉ-REQUISITOS: Geometria de Operadores Lineares de R², Independência Linear e Bases em R².

Construindo curvas e superfícies

admin — Thu, 12 Feb 2009 13:41:19 +0000

Vamos descrever uma técnica que utiliza determinantes para construir retas, círculos e seções cônicas em geral, por pontos especificados no plano. O procedimento também é usado para fazer passar planos e esferas no espaço tridimensional por pontos fixados.

Pré-requisitos: Sistemas lineares e determinantes.

Instituto Goiano de Matemática