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Conteúdos de Equações Diferenciais
Escrito por Equipe IGM   
Qui, 07 de Maio de 2009 15:42

Questão 1

Dado o PVI  

a)       Escreva a equação característica associada.

b)       Encontre o valor do discriminante da equação característica e identifique o caso.

c)       Encontre as raízes da equação característica.

d)       Escreva a solução geral da EDO.

e)       Usando as condições iniciais dadas encontre os valores das constantes.

f)        Escreva a solução do PVIg)       Faça um esboço do gráfico da solução do PVI. 

Solução comentada

 

a)       A equação característica associada é

b)      O discriminante é 

.

c)      As raízes são:

 

  

d)    

A solução Geral da EDO é

  

e)      Inicialmente derivamos y em relação a t para obtermos

    

De  obtemos    e de   obtemos .  

 

 Os valores procurados é a solução do Sistema Algébrico 

 

Isto é, 

a)     

UsasUsando os resultados anteriores, a solução do PVI é:

  

 

b)      O esboço do gráfico da solução do PVI é como segue:

 

Questão 2

Dado o sistema de EDO de primeira ordem:

 

a)       Escreva a equação característica associada.

b)       Encontre o valor do discriminante da equação característica e identifique o caso.

c)       Encontre os autovalores da matriz .

d)       Encontre os autovetores associados a cada autovalor.

e)       Encontre a solução geral da EDO.

 

Solução comentada

a)     

A mA matriz associada ao sistema é

  

onde o traço  e o determinante  

Assim, a equação característica associada é     

b)      O discriminante é:

 

c)      Os autovalores são as raízes da equação característa, ou seja,   

Daí,  .

 

d)     Os autovetores associados são

.

 

Para encontrarmos   temos que   

 

isto é,   .

 

Assim, tomando   teremos .

 

Desta forma, um autovetor particular é . 

 

Da mesma forma, para encontrarmos  temos que

 

  isto é, .

 

Assim, tomando   teremos .   Desta forma, um autovetor

  particular é

e)     

Usando os resultados anteriores, temos que

 

.

 

Assim, a solução geral do Sistema é:

 

, 

 

ou seja,

    

 e

 

.

 


Última atualização em Qui, 07 de Maio de 2009 15:54
 

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