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Matriz Inversa Imprimir E-mail
Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Seg, 23 de Março de 2009 15:51

 

Dada uma matriz quadrada  A,  se existir outra matriz  B  da mesma ordem que verifique: 

A . B = B . A = I 

onde ( I é a matriz identidade ).

Dizemos que  B  é a matriz inversa de  A  e  representamos por  A-1.

 

 Algumas propriedades das matrizes inversas

(A−1)−1 = A 

 

(AB)−1 = B−1 A−1 

 

(AT)−1 = (A−1)T 

 

 

Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa  de  A, dizemos que a matriz  A  é inversível ou regular ou não singular.

Caso contrário, dizemos que a matriz  A  é singular.

 

Quando é que uma matriz A tem inversa?

Uma matriz  A  de ordem  n  (n linhas e n colunas) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero  ou também quando seu posto é  n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com sua ordem.

 

Como podemos calcular a inversa de uma matriz? Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:

 

Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes. Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 .

Pelo método de Gauss.

Por determinantes e cofatores.

 

 

Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss (escalonamento)

 

 

O próximo teorema fornece a melhor forma de "visualizar" uma matriz inversível, e o teorema leva imediatamente a um método para se determinar a invrsa de uma matriz.

Teorema

Uma matriz A_{nxn} é inversível se e somente se A é linha equivalente a I_n e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma  A em I_n também transforma I_n em A^{-1}.

Se posicionarmos as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa [A\,\,\,\,I] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Pelo Teorema acima, ou existem operações elementares  que transformam A em I_n e I_n em A^{-1} ou, A não é inversível.

Um algoritmo para determinar A^{-1}

 Escalone a matriz completa [A\,\,\,\,I].   Se A for equivalente por linha a I, então  [A\,\,\,\,I] é equivalente por linha a [I\,\,\,\,A^{-1} Caso contrário, A não tem inversa.

No exemplo que segue são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan (escalonamento).

Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber.

Matriz para determinar inversa

O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito:

Método de Gauss-Jordan 1ª etapa

O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a_{11} (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.

Método de Gauss-Jordan 2ª etapa

Os elementos a_{12} e a_{13} tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.

3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.

Método de Gauss-Jordan 3ª etapa

Com as operações acima, os elementos a_{21}a_{22} tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3.

Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade:

Método de Gauss-Jordan 4ª etapa

3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.

Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a_{11} da matriz esquerda.

Método de Gauss-Jordan 5ª etapa

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1.

Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.

Método de Gauss-Jordan 6ª etapa

E a matriz inversa é a parte da direita:

Método de Gauss-Jordan Resultado

 

A Figura 1 mostra a matriz A_{2x2} e sua Inversa calculada utilizando o MPD que você pode acessar logo abaixo da figura para entrar com a sua própria matriz.

 

 Matriz inversa 2x2

Figura 1: A matriz A_{2x2} e sua inversa

 


Usando Tecnologias


Para outros cálculos, utilize o MPD abaixo que calcula a inversa de uma matriz pelo método do escalonamento

1. Clique na seta azul para o passo seguinte ou na seta vermelha para o passo anterior.

2. No passo 7 o MPD fornece a matriz inversa.

OBS:  Você pode entrar com sua própria matriz utilizando o teclado na parte inferior, digitando o valor de cada posição da matriz e clicando a tecla ENTER para cada valor digitado.



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Já a Figura 2 exibe uma matriz A_{3x3} e sua inversa. Como antes clicando sobre a figura você tem acesso ao MPD que calcula a inversa usando o método do escalonamento.

 

 Matriz inversa 3x3

Figura 2: A matriz A_{3x3} e sua inversa

 



Usando Tecnologias


Para outros cálculos, utilize o MPD abaixo que calcula a inversa de uma matriz pelo método do escalonamento

1. Clique na seta azul para o passo seguinte ou na seta vermelha para o passo anterior.

2. No passo 12 o MPD fornece a matriz inversa.

OBS:  Você pode entrar com sua própria matriz utilizando o teclado na parte inferior, digitando o valor de cada posição da matriz e clicando a tecla ENTER para cada valor digitado.



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Cálculo da Matriz Inversa por determinantes e cofatores

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada  A  tenha inversa  (A-1)  é que seu determinante seja diferente de zero. Neste caso, para encontrar a inversa, dividimos a transposta de sua cofatora  pelo determinante da matriz dada, ou seja:

 

Inversa

 

O cálculo abaixo encontra a matriz inversa de uma matriz dada calculando o valor de seu determinante, encontrando a matriz e, por último, aplicando a relação acima. 

 

Matriz inversa
Figura 3: Matriz inversa pelo método dos cofatores


Usando Tecnologias


Para outros cálculos, utilize o MPD abaixo que calcula a inversa de uma matriz pelo método dos cofatores

1.  Escolha a ordem da sua matriz

2. No passo 1 o MPD fornece o determinante da sua matriz

3. No passo 2 o MPD fornece a matriz inversa

OBS:  Você pode entrar com sua própria matriz utilizando o teclado na parte inferior, inclusive para números decimais, digitando o valor de cada posição da matriz e clicando a tecla ENTER para cada valor digitado.




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Última atualização em Sex, 28 de Janeiro de 2011 11:08
 

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