Dada uma matriz quadrada  A,  se existir outra matriz  B  da mesma ordem que verifique: 

A . B = B . A = I 

onde ( I é a matriz identidade ).

Dizemos que  B  é a matriz inversa de  A  e  representamos por  A^-1.

 Algumas propriedades das matrizes inversas

Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa  de  A, dizemos que a matriz  A  é inversível ou regular ou não singular.

Caso contrário, dizemos que a matriz  A  é singular.

Quando é que uma matriz A tem inversa?

Uma matriz  A  de ordem  n  (n linhas e n colunas) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero  ou também quando seu posto é  n, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com sua ordem.

Como podemos calcular a inversa de uma matriz? Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz. São os seguintes:

1º Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de equações correspondentes. Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 .

2º Pelo método de Gauss.

3º Por determinantes e cofatores.

Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss (escalonamento)

O próximo teorema fornece a melhor forma de "visualizar" uma matriz inversível, e o teorema leva imediatamente a um método para se determinar a invrsa de uma matriz.

Teorema

Uma matriz é inversível se e somente se é linha equivalente a e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma  em também transforma em

Se posicionarmos as matrizes e lado a lado, de modo a formar uma matriz completa então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em e Pelo Teorema acima, ou existem operações elementares  que transformam em e em ou, não é inversível.

Um algoritmo para determinar

 Escalone a matriz completa    Se for equivalente por linha a então   é equivalente por linha a Caso contrário, não tem inversa.

No exemplo que segue são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan (escalonamento).

Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber.



O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito:



O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.



Os elementos e tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.

3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.



Com as operações acima, os elementos e  tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3.

Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade:



3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.

Multiplicação executada para fazer 1 no elemento  da matriz esquerda.



2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1.

Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.



E a matriz inversa é a parte da direita:

A Figura 1 mostra a matriz e sua Inversa calculada utilizando o MPD que você pode acessar clicando sobre a figura.

Figura 1: A matriz e sua inversa

Cálculo da Matriz Inversa por determinantes e cofatores

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada  A  tenha inversa  (A^-1)  é que seu determinante seja diferente de zero. Neste caso, para encontrar a inversa, dividimos a transposta de sua cofatora  pelo determinante da matriz dada, ou seja:

O cálculo abaixo encontra a matriz inversa de uma matriz dada calculando o valor de seu determinante, encontrando a matriz e, por último, aplicando a relação acima. Para outros cálculos, clique na Figura para acessar o MPD que calcula a inversa de uma matriz pelo método dos cofatores.