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Funções de uma variável real Imprimir E-mail
Cálculo - Cálculo 1
Escrito por Ovídio Filho   
Qua, 07 de Março de 2012 09:51

Definições e exemplos


Sejam A, B ⊂ R. Uma função f definida em A e com valores em B é uma regra que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. A notação usual é: 


f:A\rightarrow{B}\,\,\,tal\,\,\,que\,\,\,y=f(x).


O número x é chamado variável independente da função e y variável dependente da função.


Exemplo


A área de qualquer círculo é função de seu raio. Se o raio do círculo é denotado por r, então:

A(r)=\pi{r^2}.

Um círculo de raio igual a 5 m, tem área A(5) = 25  m2;  um círculo de raio igual a 300 m,  tem área A(300) = 90000  m2


Domínio e Imagem de funções


1. O conjunto de todos os x ∈ R que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função f e é denotado por Dom(f).

2. O conjunto de todos os y ∈ R tais que y = f(x), onde x ∈ Dom(f) é chamado imagem da função f e é denotado por Im(f).

É claro que Dom(f) ⊂ R, Im(f) ⊂ R, e que Dom(f) é o conjunto dos valores da variável independente para os quais f é definida; Im(f) é o conjunto dos valores da variável dependente calculados a partir dos elementos do domínio.


Exemplo 1:


A área de um círculo de raio r  é 

A(r)=\pi{r^2}

como r é o raio, temos: r > 0; logo, 

 Dom(A)=Im(A)= (0,\infty).


Exemplo 2:


Considere a função

  y = f(x) = x2

é claro que não existem restrições para o número real x;  logo, temos que:

Dom(f) = R

e

y = x2 ≥ 0

para todo x ∈ R; então

 Im(f) ⊂ [0,+∞)

pois todo número real não negativo possui raiz quadrada real; então:


Exemplo 3:


Considere a função 

y=f(x)= \sqrt{x^2-1}

Mas esta raiz é real  somente se 

x2 − 1 ≥ 0;

resolvendo a inequação temos:

Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) 

e, novamente, temos:

 Im(f) = [0,+∞).



Observe que o último exemplo não é tão claro de se ver. Por este motivo é necessário treinarmos fazendo exercícios pois constantemente precisamos encontrar o domínio e a imagem de uma função.

Aqui no IGM, recomendamos o uso deste aplicativo para você possa checar os exercícios dos livros de forma mais ampla, rápida e eficiente.  Observe com muita atenção a solução apresentada e verifique sempre a sua compreensão sobre a mesma.  digite a sua função, observe com atenção a linguagem apresentada checando a mesma com o gráfico apresentado de forma a assimilar mais rapidamente o significado dos conceitos.

Domínio e imagem





Gráficos de funções



A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no plano coordenado xy.

O gráfico de uma função y = f(x) é o seguinte subconjunto do plano:

G(f) = {(x, f(x))   onde  x ∈ Dom(f)}


Geometricamente G(f) é, em geral, uma curva no plano. Nos casos em que G(f) é uma curva, intuitivamente podemos pensar que os conjuntos Dom(f) e Im(f) representam a “largura” e “altura” máxima da curva, respectivamente. 

Tradicionalmente, a construção dos gráficos é realizada fazendo uma tabela, onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.  

Este processo é demorado e ineficiente e devemos evitá-lo. Os matemáticos usam técnicas mais eficientes para fazer o gráfico, usando propriedades das funções e cálculos que envolvem os conceitos de limites, derivadas e integrais uma vez que estas técnicas fazem parte do seu cotidiano de trabalho.

Os engenheiros e cientistas, usam ferramentas computacionais para fazer os gráficos pois os utilizam para interpretar de forma mais eficiente um problema prático o que pode facilitar a sua solução.

O IGM recomenda que utilizem aplicativos computacionais para que possamos fazer sempre os gráficos utilizados na nossa disciplina de forma rápida e eficiente. O aluno deve sempre olhar com atenção a função e seu gráfico para que possa amadurecer e ter experiência prática o que facilitará na compreensão e resolução dos problemas das engenharias.

Neste aplicativo, você pode digitar a sua função e depois solicitar a construção do gráfico. 

Gráficos de funções



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Veja este MPD para o ensino de funções

Última atualização em Seg, 11 de Fevereiro de 2013 14:47
 

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