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Mudanças de coordenadas em integrais duplas Imprimir E-mail
Cálculo - Cálculo diferencial e Integral 2
Escrito por Equipe IGM   
Sáb, 05 de Novembro de 2011 10:52

Mudança de coordenadas em integrais duplas

 

 

O cálculo direto de integrais iteradas em coordenadas cartesianas em geral não é muito fácil. por isso, os matemáticos desenvolveram a idéia de mudar as variáveis. 

De forma geral, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral dupla

\begin{align*}\iint_D g(x,y) \, dA,\end{align*}

usando uma transformação da forma,

(x,y)=T(u,v) 

com

x=x(u,v)\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,y=y(u,v)


que aplica uma região simples  D* sobre uma região mais complicado D. Neste caso, a integral pode ser escrita como 

\begin{align*}\iint_D g(x,y) \, dA = \iint_{D^{*}}g(T(u,v)) \det{D(T(u,v))}dudv\end{align*}

onde o determinante é calculado sobre a matriz jacobiana dada por  

\begin{align*}D(T(u,v))&=\left (\begin{array}{cc}\frac{\partial{x}}{\partial{u}}&\frac{\partial{x}}{\partial{v}}\\ \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}&\frac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{array} \right )\end{align*}

Na prática, encontrar a transformação  T  não é uma tarefa simples e, caso você necessite no seu cotidiano de trabalho, deve procurar um escritório de consultoria matemática (no Brasil o Instituto Gauss de Matemática - IGM, por exemplo). 

Uma transformação bastante conhecida são as coordenadas polares.

 

Coordenadas polares

 

Vamos calcular a integral

\begin{align}\iint_{D}g(x,y)dA\end{align}

onde

g(x,y)=x^2+y^2 

e D  é o disco de raio 7 centrado na origem.

Em coordenadas retangulares  x e y o disco é dado por 

\begin{gather*}-7\le x\le 7\\-\sqrt{49-x^2}\le  y\le\sqrt{49-x^2}.\end{gather*}

Sendo assim, a nossa integral é escrita como

\begin{align*}\iint_{D}g(x,y)dA=\int_{-7}^7\,\,\,\int_{-\sqrt{49-x^2}}^{\sqrt{49-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx\end{align*}


Uma estratégia para facilitar o cálculo da integral é fazer uma mudança de variáveis para as coordenadas polares

Em coordenadas polares o disco D agora é o retângulo D* dado por 


 0\le r \le 7\,\,\,\,</span>e \,\,\,\,<span style="color: #000000; font-family: monospace; line-height: normal; white-space: pre; font-size: medium" class="Apple-style-span">0\le \theta \le 2\pi  

que é uma região mais simples.

Recorde da álgebra linear quando foi visto transformações lineares no plano.  MPD: transformações lineares no plano  mostra a relação entre as áreas pelo fator r que é o determinante da matriz da transformação linear:

A relação entre as coordenadas retangulares   (x,y)   e as coordenadas polares   (r,\theta)  são dadas por 

x=r\cos\theta   e     y=r\,sen\,\theta

A relação entre as áreas das regiões pode ser obtida por meio da função vetorial

\begin{align}  (x,y)=T(r,\theta) = (r \cos\theta, r sen \theta). \end{align}

Como consequência, a relação entre as áreas da região deve ser multiplicada pelo determinante da matriz  das derivadas parciais de T que no caso é o fator r, ou seja, o elemento de integração

 dxdy,    altera para     rdrd\theta
 
Portanto a integral que queremos calcular será:

\begin{align*}\iint_D (x^2+y^2) dA  = \int_0^{2\pi}\int_0^7 r^2 r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^7 r^3 \,dr\,d\theta=\frac{3381\pi}{2}\end{align*}

 

As coordenadas polares podem ser usadas para descrever áreas no plano R^2. Muitas vezes escrevemos a área em coordenadas polares pois seu cálculo neste tipo de coordenadas pode facilitar as contas, por exemplo, ao calcular a integral. Veja este exemplo de área em coordenadas cartesianas e sua conversão para coordenadas polares.


Exemplo 1:
  Considere a região descrita em coordenadas cartesianas abaixo:



a figura que segue faz uma construção da área, passo a passo.





o que segue, ilustra sua conversão para as coordenadas polares.








Vamos usar estas idéias para calcular áreas menos convencionais.





Última atualização em Ter, 15 de Novembro de 2011 12:03
 

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