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Integrais de superfície Imprimir E-mail
Cálculo - Integrais de superfícies
Escrito por Equipe IGM   
Dom, 29 de Maio de 2011 17:28

Lembre-se que existem dois tipos de integrais sobre caminhos: integrais de linha de campo escalar e integrais de linha de campo vetorial. Aqui não será diferente:

Integrais de superície de um campo escalar:

Seja  S é uma superfície parametrizada por Φ ( u, v ) para ( u, v ) em alguma região D.

Imagine que você usa  uma função com valor escalar f ( x ) de modo que f ( x ) é a densidade da superfície no ponto x .

Queremos encontrar a massa total da superfície, integrando a densidade f ( x ) sobre a superfície e obtemos.

\int\int_S{g}dS=\int\int_D{f(\phi(u,v))|\frac{\partial{\phi}}{\partial{u}}(u,v)X\frac{\partial{\phi}}{\partial{v}}|dudu


Integral de superfície de um campo vetorial:

A integral de superfície de um campo vectorial F tem realmente uma explicação mais simples. Se o campo vetorial F representa o fluxo de um fluido, então a integral de superfície F representará a quantidade de líquido que flui pela superfície (por unidade de tempo).

Se a água está fluindo perpendicularmente à superfície, muita água irá fluir através da superfície e o fluxo será grande.

Por outro lado, se a água está fluindo paralela à superfície, a água não fluirá através da superfície, e o fluxo vai ser zero. 

Assim, para calcular a quantidade total de água que flui através da superfície, queremos somar os componentes do vetor F que seja perpendicular à superfície.

Seja n um vetor normal à superfície. O fluxo do fluido através da superfície é determinada pelo componente de F que está no sentido de n , ou seja, ⋅ n . 

(Note que ⋅ n será zero se F e n são perpendiculares, positivo F e n estão apontando na mesma direção, e negativo se n estão apontando em direções opostas).

Para ilustrar, vamos olhar para um helicóide.  

O MPD mostra a helicóide com um vetor normal, mostrado em azul . Neste caso, estamos usando o vetor normal apontando para cima. (Poderíamos ter usado o ponto para baixo em vez normal. Se o fizéssemos, nosso cálculo de fluxo de fluido que tem o sinal oposto.)

Dadas algumas fluxo de fluido F, se integrar ⋅ n , vamos determinar o fluxo total de fluido através do helicóide, contagem de fluxo na direção de n como positivo e fluxo na direção oposta como negativo.

No MPD imagine que o fluxo líquido é na direção das setas rosas. 

Parece que o líquido está fluindo normalmente na mesma direção n (em sua maior parte F e n estão mais perto de apontar na mesma direção que aponta na direção oposta).  

No entanto, quando  s = 0 e t = 2 π (ou quando s = 0 e t = 0), o líquido está fluindo na direção oposta de n (pelo menos o fluxo é mais estreito para a direção oposta que a na mesma direção).

Nesses pontos, o líquido atravessa a superfície na direção oposta do que é na maioria dos pontos sobre a superfície.

O MPD abaixo demonstra isso mais claramente. Aqui, você pode ver o vetor fluido F (em rosa) no mesmo ponto em que o vetor normal (em azul ). O ponto azul ponto na barra mostra o produto do ponto ⋅ n . Note-se que ⋅ n é geralmente positiva, mas é negativo em alguns pontos, como comentado acima. Quando ⋅ n = 0, qual é a relação entre o vetor de fluido F e a superfície?

O fluido de fluxo total é 

\int\int_SF.dS=\int\int_{S}(F.n)dS=\int\int_D(F.n)|\frac{\partial{\phi}}{\partial{u}}(u,v)X\frac{\partial{\phi}}{\partial{v}}(u,v)|dudv

 

A integral de superfície também pode ser escrita como   


 \int\int_{S}FdS=\int\int_{D}F(\phi(u,v))(\frac{\partial{\phi}}{\partial{u}}(u,v)X\frac{\partial{\phi}}{\partial{v}}(u,v))dudv

 



 

 

Última atualização em Dom, 03 de Junho de 2012 23:21
 

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