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Cálculo - Problemas extras
Escrito por Ricardo Kubrusly   
Qua, 13 de Abril de 2011 16:10

 

Santa Teresa D'Ávila passava os dias enclausurada com seus pensamentos voltada para Deus. No seu modo de ver o mundo, tudo era insignificante diante do poder de criação divino. Nada, se comparado com Deus, tinha qualquer valor. Tudo como se fossem números diante do infinito. Ela expressava seus pensamentos através da conhecida máxima: "Mesmo Tudo Não é Nada". Georg Cantor, o maior mago do infinito matemático, inventou um conjunto cujas propriedades nos faz pensar na velha santa inquieta.

Começamos com o segmento que representa o intervalo fechado [0,1]. Dividimos este segmento em três partes e jogamos fora o pedaço do meio, ficando com os outros dois terços extremos. Repetimos depois o mesmo procedimento com cada um dos segmentos restantes, sempre jogando fora o terço médio de cada divisão. Os quatro segmentos restantes sofrerão o mesmo processo de divisão e retirada do terço médio, dando origem a oito segmentos cada vez menores. Este processo deve ser repetido eternamente ( "ad infinitum"), sempre dividindo cada segmento restante por três e dispensando o terço médio de cada divisão. O que sobra no limite é o Conjunto Ternário de Cantor. Se examinarmos quais os pontos que restam após o processo infinito de construção do conjunto, observamos que os pontos extremos dos diversos segmentos, obtidos em qualquer etapa da construção do Conjunto de Cantor, estarão sempre presentes até o fim. Os pontos {0,1,1/3,2/3,1/9,2/9, ...8/925/27...etc. ...} pertencem, todos eles, ao conjunto final. Se numerarmos cada etapa da construção do conjunto por j =1,2,3,4,5...., observamos que são criados (para sempre) no conjunto 2j pontos na j-ésima etapa. Isso, ao contrário do que poderíamos pensar no início faz com que o Conjunto de Cantor tenha muitos infinitos de pontos. Observe, por um momento, a figura abaixo que descreve várias etapas da construção.

 

 

 

O Conjunto de Cantor nos reserva duas surpresas do infinito:

 

     

  1. O "tamanho" do Conjunto de Cantor.
  2.  

É possível mostrar, que o " tamanho" do Conjunto da Cantor, ou seja, seu número de pontos matemáticos ou sua cardinalidade é a mesma do segmento [0,1] ( e portanto de toda a reta) , apesar do tanto que se tira do segmento durante a construção do conjunto.

 

Para isso, vamos começar observando que todo número , em qualquer base, tem uma ( na verdade, pelo menos uma ) escrita infinita. Por exemplo: o número 1 pode ser escrito, na base dez, como 1,0000... ou 0,9999... que são duas maneiras de escrever a mesma quantidade igual a 1, o número 37,8694657 pode ser escrito , na base dez, como 37,86946570000... ou como 37,869465699999... . As dízimas periódicas só tem uma escrita infinita possível, por exemplo 1/3=0,333..., já ou os irracionais tem apenas uma única escrita numérica possível, infinita, é claro. Por exemplo, na base dez temos, =3,141592.... , e=2,7182818284590..... = 1.414213562373.... etc.

 

Com isso em mente, vamos rotular os segmentos usados na construção do conjunto de Cantor. Começando pelo primeiro nível da construção, o intervalo [0,1] propriamente dito que será chamado de " 0,". Nos níveis subseqüentes, chamaremos, sempre, aos intervalos de ordem ímpar de " 0 " e, aos de ordem par, de " 1 " , como mostra a figura abaixo. Desta maneira, estaremos associando a cada sub-intervalo utilizado na construção do conjunto de Cantor, um número real entre zero e um, escrito na base 2 ( já que só utilizamos os algarismos 0 e 1 para escrevê-lo).

Se pensarmos agora no conjunto de Cantor pronto, já completamente construído, isto é, o limite ao infinito do processo de divisão ternária, previamente elaborado, podemos observar que:

 

1-Cada extremo de cada segmento construído em qualquer nível permanece fixo por toda a construção, pertencendo, portanto, ao conjunto (final) de Cantor. Lá estarão por exemplo o 0 , o 1/3 , o 2/3 , o 1 , o 2/9 , o 7 /27 etc. Na verdade, o conjunto de Cantor é composto de todos esses extremos remanescentes no processo infinito de sua construção e, portanto, tem pelo menos um número infinito de elementos; mas isso ainda não é tudo o que queremos.

 

2 - A associação feita acima entre cada segmento da construção do conjunto de Cantor e seu rótulo (ou 0 ou 1 ) cria uma infinidade ( por quê?) de seqüências infinitas do tipo: 0, (ou 0 ou 1) (ou 0 ou 1)...... onde o dígito 0 ou 1 dependerá da escolha entre esquerda ou direita, feita na passagem dos níveis durante a construção do conjunto, como mostra a figura abaixo. Essas seqüências apontam, precisamente, para os pontos remanescentes do processo de divisão ternária, isto é, para os elementos do próprio conjunto de Cantor.

 

3- Finalmente observamos, que as seqüências infinitas criadas são de fato as escritas infinitas na base dois dos números reais entre zero e um. Esta correspondência é biunívoca, pois qualquer seqüência do tipo 0, (ou 0 ou 1) (ou 0 ou 1) .... representa ( isto é, escreve na base dois ) um único real e , por outro lado, qualquer número real entre zero e um é representado ( isto é , tem sua escrita infinita na base dois dada) por uma seqüência do tipo 0, (ou 0 ou 1) (ou 0 ou 1 ) ....

 

Assim, fica provado que o conjunto de Cantor é não enumerável.

 

 

 

 

2- O "peso"(?) do conjunto de Cantor.

Por outro lado, podemos observar facilmente, que se somarmos o tanto que se tira em cada etapa, ou seja, o comprimento do que jogamos fora temos:

 

que pode ser escrita como

 

 

que é a soma infinita de uma progressão geométrica de razão menor do que 1 e cuja valor pode ser diretamente calculado e é igual a 1. Se quisermos, porém, podemos aproximar passo a passo esse resultado, calculando cada vez mais termos desta soma e obtendo valores cada vez mais perto de 1. Veja os valores da soma para 1,2,3,10,20,50 e 100 termos respectivamente:

 

.333333333333333333333333333333

.555555555555555555555555555556

.703703703703703703703703703704

.982658470084167386407898524954

.999699271340178282505744180080

.999999998431671454516041377666

.999999999999999997540345573420

 

Finalmente, para surpresa nossa, no limite, depois da construção completa do conjunto de Cantor, obtemos que o comprimento da soma do tudo que se retira ( o verdadeiro tamanho que aqui chamamos de peso ) é o tudo que existia no início, ou seja , igual a 1.

 

Incrível ! O Conjunto de Cantor, tem ao mesmo tempo o mesmo número de pontos do segmento [0,1], e toda a parte retirada também tem o mesma medida do segmento original. O tudo que se tinha é igual ao tanto que se retira que é o mesmo que restou.

 

MESMO TUDO NÃO É NADA!


Última atualização em Qua, 13 de Abril de 2011 16:24
 

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