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Campos escalares e campos vetoriais Imprimir E-mail
Cálculo - Funções de duas variáveis
Escrito por Equipe IGM   
Dom, 27 de Fevereiro de 2011 18:42


Uma função


f:R^n\rightarrow{R}

é um campo escalar. Observe que a imagem é um número real.


Um bom exemplo de campo escalar é a distância de um ponto qualquer P(x,y,z) do sólido esférico até o centro que é dado pela função


f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Já a função 


\vec{f}:R^n\rightarrow{R^m}


é um campo vetorial.


Um campo vetorial sobre o plano  R^2   é, por exemplo


 F(x,y)=\vec{f}(x,y)=-y\vec{i}+x\vec{j}.

Um campo vetorial sobre o espaço tridimensional R^3  é, por exemplo


 F(x,y,z)=\vec{f}(x,y,z)=-y^2xz\vec{i}+xzy^5\vec{j}+xy\vec{k}.


Representação geométrica de campo vetorial

Uma função vetorial  F(x,y) no plano ou F(x,y,z) no espaço tridimensional, podem ser visualizadas como um campo vetorial.  No plano, no ponto (x,y),  plotamos  o valor de F(x,y) ancorado no ponto (x,y) como nos mostra a figura abaixo

 


Repetimos este procedimento para todos os pontos (x,y) do plano para visualizarmos o que chamamos Campo Vetorial, de forma completa.

 Por exemplo, para o campo vetorial no plano, dado anteriormente, 

 F(x,y)=\vec{f}(x,y)=-y\vec{i}+x\vec{j}.

calculamos seus valores em um conjunto de pontos tais como



Plotamos cada um destes vetores ancorados nos respectivos pontos e começamo ver a estrutura do campo vetorial na figura



Se continuarmos plotando estes vetores em uma quantidade maior de pontos podemos visualizar um 'loop" que descreve o comportamento do campo vetorial F(x,y), que parece estar rodando no sentido horário [observe a direção, o sentido e o módulo de cada vetor no ponto (x,y)].  




Neste outro exemplo, o campo vetorial no plano, dado por, 

 F(x,y)=(x,y).

é visualizado como na figura


Observe que o modulo dos vetores crescem quando afastamos da origem. 


No espaço tridimensional, ou seja, funções vetoriais   F:R^3\rightarrow{R^3}  o princípio é exatamente o mesmo: plotamos o vetor de comprimento proporcional a F(x,y,x) ancorado em cada ponto (x,y,z)

Por exemplo, para a função vetorial dada por

F(x,y,z)=(x,y,z)

o campo vetorial ode ser visualizado como na figura abaixo:



Um segundo exemplo, consideramos a função vetorial

F(x,y,z)=(\frac{y}{x},\frac{-x}{y},0)

cujo campo vetorial  é: 


Um último exemplo, a função vetorial

F(x,y,z)=(-y,xy,z)

tem como campo vetorial: 




Exercícios

Fazer exercícios das páginas 197 e 198  do nosso livro texto.






Última atualização em Dom, 04 de Março de 2012 10:12
 

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