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Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Imprimir E-mail
Álgebra Linear - Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Ter, 23 de Novembro de 2010 17:27


Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer B=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\} desse espaço, é possível, a partir desta base, determinar uma base ortogonal de V

Considerando que v_1,v_2,v_3,...,v_n não são ortogonais, considere-se

w_1=v_1

e encontre o valor o valor de a_1 de modo que o vetor 

w_2=v_2-a_1w_1 

seja ortogonal a w_1. Teremos:

(v_2-a_1w_1).w_1=0

v_2.w_1-a_1(w_1.w_1)=0

a_1=\frac{v_2.w_1}{w_1.w_1}


isto é,

w_2=v_2-(\frac{v_2.w_1}{w_1.w_1})w_1.

Assim, os vetores w_1w_2 são ortogonais.

Na sequência, considere-se o vetor

w_3=v_3-a_2w_2-a_1w_1

e encontre os valores de a_2a_1 de maneira que o vetor w_3 seja ortogonal aos vetores w_1w_2:

\left\{\begin{matrix}(v_3-a_2w_2-a_1w_1).w_1=0\\(v_3-a_2w_2-a_1w_1).w_2=0\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}(v_3.w_1-a_2(w_2.w_1)-a_1(w_1.w_1)=0\\(v_3.w_2-a_2(w_2.w_2)-a_1(w_1.w_2)=0\end{matrix}\right.

Tendo em vista que w_1.w_2=0, vem:

\left\{\begin{matrix}(v_3.w_1-a_1(w_1.w_1)=0\\(v_3.w_2-a_2(w_2.w_2)=0\end{matrix}\right.

e,

a_1=\frac{v_3.w_1}{w_1.w_1};      a_2=\frac{v_3.w_2}{w_2.w_2}  

isto é,

w_3=v_3-(\frac{v_3.w_2}{w_2.w_2})w_2-(\frac{v_3.w_1}{w_1.w_1})w_1.


Assim, os vetores   w_1,   w_1   e   w_1   são ortogonais.

Continue o processo até que tenham sido obtidos n-1 vetores w_1,w_2,...w_{n-1} e considere o vetor:

w_n=v_n-a_{n-1}w_{n-1}-\,...\,-a_2w_2-a_1w_1

sendo a_1,a_2,\,...\,a_{n-1} tais que o referido vetor w_n seja ortogonal aos vetores w_1,w_2,\,...\,w_{n-1}.


Os vetores a_1,a_2,\,...\,a_n que aparecem na expressão de w_n são:


a_1=\frac{v_n.w_1}{w_1.w_1},   a_2=\frac{v_n.w_2}{w_2.w_2},    ... ,   a_{n-1}=\frac{v_n.w_{n-1}}{w_{n-1}.w_{n-1}}


Assim, a partir da base  B=\{v_1,v_2,\,...\,,v_n\}, obtivemos a base ortogonal \{w_1,w_2,\,...\,,w_n\}.

Finalmente, para se obter a base ortonormal, basta normalizar cada vetor w_i,  fazendo 


u_i=\frac{w_i}{|w_i|},

para obter a base 

C=\{u_1,u_2\,...\,,u_n\}

que é a base ortonormal obtida a partir da base qualquer dada

B=\{v_1,v_2,\,...\,,v_n\}.


Última atualização em Ter, 23 de Novembro de 2010 17:35
 

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