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Produto interno em espaços vetoriais Imprimir E-mail
Álgebra Linear - Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Dom, 14 de Novembro de 2010 10:55

O objetivo é generalizar o conceito de produto escalar e, a partir desta generalização, definir noções de comprimento, distância e ângulo em espaços vetoriais. 

PRODUTO INTERNO em um espaço vetorial V.

É uma função de com domínio VxV e imagem R em que cada vetor (u,v)\in{V} associa um número real indicado por   <u.v> onde as seguintes propriedades devem ser válidas:

1. <u.v>=<v.u>

2. <u.(v+w)>=<u.v>+<u.w>

3. <(au).v>=a<u.v>

4. <u.u>\neq{0} e <u.u>=0 se, e somente se, u=0.


Por exemplo,  em  R^2, a função que associa  a cada par de vetores u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) o número real 

<u.v>=3x_1x_2+4y_1y_2

é um produto interno (verifique as quatro propriedades da definição!)

Observação importante:  Um produto interno bastante conhecido é o produto escalar de vetores definido, por exemplo, no R^3 como: 

Dados os vetores u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z2) o produto escalar é definido por:  

<u.v>=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 

verifique!


Espaços vetoriais euclidianos

É um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno. As definições que seguem são bastante importante no desenvolvimento da álgebra linear. 

Considere um Espaço vetorial V munido de um produto interno.

Módulo de um vetor

Dado um vetor V\in{V} chama-se módulo, norma ou comprimento de v o número real não negativo, indicado por |v|, definido por

|v|=\sqrt{<v.v>}.

No R^3 com o produto interno usual (produto escalar) definido anteriormente, tem-se

|u|=\sqrt{<u.v>}=\sqrt{x_1x_1+y_1y_1+z_1z_1}=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}


Distância entre dois vetores

Cama-se de distância entre dois vetores uv o número real representado por d(u,v) definido por:

d(u,v)=|u-v|

Por exemplo, no R^3 com o produto interno usual definido anteriormente, temos que 

d(u,v)=|u-v|=|(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)|

ou seja,

d(u,v)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.


Quando |v|=1, isto é, <v.v>=1, o vetor v é chamado vetor unitário. Neste caso dizemos que o vetor v está normalizado.

Todo vetor não nulo  v\in{V}  pode ser normalizado, fazendo:

u=\frac{v}{|v|}.

De fato,

\frac{v}{|v|}.\frac{v}{|v|}=\frac{<v.v>}{|v|^2}=\frac{|v|^2}{|v|^2}=1

e, portanto, \frac{v}{|v|} é um vetor unitário.  


Ângulo entre dois vetores

Sejam uv vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano V.

O ângulo entre os vetores uv é dado por 

cos{\theta}=\frac{<u.v>}{|u||v|}   com   0\leq{\theta}\leq{\pi}.


Vetores ortogonais

Dizemos que os vetores uv são ortogonais, e se representa por u\perp{v}, se, e somente se, <u.v>=0.

Um conjunto de vetores \{v_1,v_2,v_3,...,v_n\} do espaço vetorial euclidiano V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, ou seja,

v_i.v_j=0   para    i\neq{j}.

Observe que um conjunto ortogonal de vetores não nulos

A=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\}

é linearmente independente (LI)


Base ortogonal

Diz-se que uma base 

B=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\}

de um espaço vetorial euclidiano V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.

Neste sentido, levando em conta a última observação, se dim\,V=n, qualquer conjunto de n vetores não nulos dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. 



Base ortonormal


Uma base B=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\} de um espaço vetorial euclidiano é ortonormal se V é ortogonal e se todos os seus vetores são unitários, ou seja, 


v_i.v_j=\begin{cases}0&\text{se}i\neq{j}\\1&\text{se}i=j\end{cases}


Vejamos na sequência que dada qualquer base B podemos, a partir dela, obter uma base ortonormal. Este processo é conhecido como processo de ortogonolização de Gram-Schmidt.








Acompanhe o  exemplo a seguir onde resumimos uma parte da teoria discutida anteriormente.


Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica

A=\begin{pmatrix}7&-2&0\\-2&6&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}


Solução

A equação característica da matriz A é o determinante:


det(A-\lambda{I})=\begin{pmatrix}7&-2&0\\-2&6&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}=0

isto é, o polinômio característico já fatorado

p(\lambda)=(6-\lambda)(\lambda{-3})(\lambda{-9})=0.

As raízes desse polinômio são

 \lambda_1=3,\,\,\,\,\lambda_2=6\,\,\,\,e\,\,\,\,\lambda_3=9 

e, por conseguinte, são os autovalores da matriz A.


A teoria de sistemas lineares permite a determinação dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, 

(A-\lambda{I})v=0.

Considerando

v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

o sistema fica

\begin{pmatrix}7-\lambda&-2&0\\-2&6-\lambda&-2\\0&-2&5-\lambda\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

Para o cálculo dos autovetores associados efetuamos os passos:

Passo 1:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,3 no sistema acima, obtém-se um autovetor associado a \lambda_1=3:

\begin{pmatrix}4&-2&0\\-2&3&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}4x-2y=0\\-2x+3y-2z=0\\-2y+2z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=2\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=2\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_1=3 é:  

(\alpha,2\alpha,2\alpha)

e uma base é B_1=[(1,2,2)]. Um autovetor associado é:

v_1=(1,2,2)

Normalizando o vetor v_1, ou seja, fazendo 

u_1=\frac{v_1}{|v_1|}=\frac{(1,2,2)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_1=3:

u_1=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}).


Passo 2:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,6 no, obtém-se um autovetor associado a \lambda_2=6:

\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&0&-2\\0&-2&-1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}x-2y=0\\-2x-2z=0\\-2y-z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=\frac{1}{2}\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=-\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_2=6 é:  

(\alpha,\frac{1}{2}\alpha,-\alpha)

e uma base é B_2=[(1,\frac{1}{2},-1)]. Um autovetor associado é:

v_2=(1,\frac{1}{2},-1)

Normalizando o vetor v_2, ou seja, fazendo 

u_2=\frac{v_2}{|v_2|}=\frac{(1,\frac{1}{2},-1)}{\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2+(-1)^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_2=6:

u_2=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}).  


Passo 3:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,9, obtém-se um autovetor associado a \lambda_3=9:

\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&-3&-2\\0&-2&-4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}-2x-2y=0\\-2x-3y-2z=0\\-2y-4z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=-\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=\frac{1}{2}\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_3=9 é:  

(\alpha,-\alpha,\frac{1}{2}\alpha)

e uma base é B_3=[(1,-1,\frac{1}{2})].  Um autovetor associado é:

v_3=(1,-1,\frac{1}{2})

Normalizando o vetor v_3, ou seja, fazendo 

u_3=\frac{v_3}{|v_3|}=\frac{(1,-1,\frac{1}{2})}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(\frac{1}{2})^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_3=9:

u_3=(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}).


Portanto, a matriz P, cujas colunas são os autovetores unitários u_1,u_2\,\,e\,\,u_3, associados aos autovalores \lambda_1,\lambda_2,\,\,e\,\,\lambda_3 é ortogonal (verifique):


P=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.

A matriz P é a matriz diagonalizadora, ou seja,

 P^{-1}AP=D        


onde 


D=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&6&0\\0&0&9\end{pmatrix},


verifique!







Última atualização em Ter, 23 de Novembro de 2010 17:27
 

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