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Operações com matrizes Imprimir E-mail
Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Seg, 16 de Fevereiro de 2009 14:47

 Soma de matrizes  

Dadas   duas  matrices  A=(a_{ij}) e  B=(b_{ij})  de   dimensão  m x n,  a  matriz   A + B  é outra matriz  S = (s_{ij})  de  mesma dimensão, de modo que cada elemento  s_{ij} da matriz  S, é obtido como:  s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.  Ou seja, para que duas matrices  A  e  B  possam serem somadas têm que ter a mesma dimensão e neste caso, somamos os elementos que ocupam a mesma posição.

 

fig3.png


Propriedades da soma de matrizes

1ª  Comutativa:    A + B = B + A

2ª  Associativa:    ( A + B ) + C = A + ( B + C )

3ª  Elemento neutro:   0  ( matriz zero o matriz nula ).

0 + A = A + 0 = 0

4ª  Elemento simétrico:  - A   ( matriz oposta da A ).

A + (-A ) = (-A ) + A = 0

A oposta da matriz  A  obtém-se trocando o sinal de todos os elementos da matriz  A- (a_{ij}) = (-a_{ij}).

 


Subtração de Matrizes

A subtração de matrizes é um caso particular de da soma. Subtrair duas matrizes é o mesmo que somar a primeira pela oposta da segunda:  A - B  =  A + ( -B ). Dadas   duas  

matrizes A = (aij)   e  B = (bij)  de  dimensão  m x n,  a matriz  A - B  é uma outra matriz  D = (dij)  de mesma dimensão, de modo que cada elemento  dij  da matriz  D, é obtida

como  dij = aij - bij

 

fig4.png

 

A Figura 1 abaixo, mostra o resultado da soma de duas matrizes além das suas dimensões  e a operação que deu como resultado o elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura para manipular o MPD que certamente será útil para a fixação das operações:

 

Gerador de soma de matrizes

Figura 1 : Gerador de somas e subtrações de matrizes 

 

O MPD acima gera matrizes de forma aleatória. Mas você pode digitar suas próprias matrizes utilizando o MPD da Figura 2.

 

soma de matrizes

Figura 2: Alterando as matrizes a serem somadas ou subtraídas


 Produto de um número real por uma matriz

Dado um número real  k  e uma matriz  A = (aijde dimensão  m x n,  definimos o produto do número real  k  pela matriz  A, como outra matriz  P = (pij)  da mesma dimensão que 

A, de modo que cada elemento  pij  de  P  é obtida como:  pij = k.aij.

 

fig5.png


Propriedades do produto de um número real por uma matriz  (verifique todas estas propriedades, utilizando o MPD disponível ao clicar na figura abaixo)

Sejam  A  e  B  matrizes de mesma dimensão  e  k  e  números reais. Temos as propriedades:

1ª  Distributiva com respeito a soma de matrizes

 k . ( A + B ) = k . A + k . B

2ª  Distributiva com respeito a soma de números reais:

( k + h ) . A = k . A + h . A

3ª  Associativa mista (entre números e matrizes)

( k . h ) . A = k . ( h . A )

4ª  Elemento neutro1   ( número real  1 ) 1 . A = A

 

A Figura 3 abaixo, mostra o resultado do produto do escalar 4 por uma matriz. Fornece ainda a dimensão da matriz e mostra a operação do escalar 4 pelo elemento da segunda linha e terceira coluna. Clique na figura 3 para manipular o MPD, como nos casos acima:

 

 

Produto de número por matrizes

 Figura 3: Gerador de Produto de números por matrizes 


A última figura desta seção mostra o produto 0.75 por uma matriz. Clique na Figura 4 e você tem um MPD que permite alterar o escalar bem como a matriz, de acordo com o seu interesse.

 

 

Produto de números por matrizes 

Figura 4: Produto de números por matrizes

 

Utilize os  MPD's deste artigo para verificar as propriedades e as soluções de exercícios.  Bons estudos


 

 

Última atualização em Seg, 16 de Março de 2009 22:34
 

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