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Álgebra Linear - Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Qui, 07 de Outubro de 2010 17:03

Consideremos duas bases ordenadas do R^2

A=\{v_1,v_2\}

e

B=\{w_1,w_2\}

Dado um vetor v\in{R^2}, podemos escrevê-lo como

v=x_1v_1+x_2v_2    e      v=y_1w_1+y_2w_2

As coordenadas do vetor v em relação a base A é

[v]_A=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\end{pmatrix}


As coordenadas do vetor v em relação a base B é

[v]_B=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\end{pmatrix}

já que \{v_1,v_2\} é base de V, podemos escrever os vetores w_1,w_2 como combinação linear dos vetores v_1,v_2, ou seja,

\left\{\begin{matrix}w_1&=&a_{11}v_1&+&a_{21}v_2&\\w_2&=&a_{12}v_1&+&a_{22}v_2&\end{matrix}\right.

substituindo temos:


v=y_1w_1+y_2w_2
=y_1(a_{11}v_1+a_{21}v_2)+y_2(a_{12}v_1+a_{22}v_2)
=(a_{11}y_1+a_{12}y_2)v_1+(a_{21}y_1+a_{22}y_2)v_2

Mas 

v=x_1v_1+x_2v_2  

e como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos

\left\{\begin{matrix}x_1&=&a_{11}y_1&+&a_{12}y_2&\\x_2&=&a_{21}y_1&+&a_{22}y_2&\end{matrix}\right.
 

Em notação matricial

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\\a_{21}&a_{22}&\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\end{pmatrix}
 

Isto é, 

[v]_A=[{I}]_A^B[v]_B 

onde

[{I}]_A^B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\\a_{21}&a_{22}&\end{pmatrix}

é chamada matriz de mudança da base  B  para a base A.

Observe que uma vez obtida  [{I}]_A^B  podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação a base A, multiplicando a matriz de mudança da base  pelas coordenadas de v na base B (que conhecemos).

Vejamos o exemplo:

Considere as bases

A=\{(1,-4)(3,-5)\}       e      B=\{(-9,1)(-5,-1)\}  

e vamos determinar a matriz mudança de base da B (da qual conhecemos as coordenadas) para a base A, ou seja [C]_A^B ou [C]^{B,A}.

A solução é  obtida por meio da solução dos dois sistemas lineares


\left\{\begin{matrix}a+3b&=&-9\\-4a-5b&=&1\end{matrix}\right.    e    \left\{\begin{matrix}c+3d&=&-5\\-4c-5d&=&-1\end{matrix}\right.  

Para resolver os dois sistemas simultaneamente, acrescente à matriz dos coeficientes os vetores da base B e escalone como segue:

\begin{pmatrix}1&3&|&-9&-5\\-4&-5&|&1&-1\end{pmatrix}.


Como a_{11}=1\neq{0} realizamos a operação elementar L_2\leftarrow{1}.L_2-(-4)L_1 para obtermos a matriz

\begin{pmatrix}1&3&|&-9&-5\\0&7&|&-35&-21\end{pmatrix}.
  
Realizamos uma segunda operação elementar L_1\leftarrow{7}L_1-3L_2 para obtermos a matriz equivalente

\begin{pmatrix}7&0&|&42&28\\0&7&|&-35&-21\end{pmatrix}.

Para finalizar fazemos as últimas operações elementares,

L_1\rightarrow{\frac{1}{7.L_1}}L_2\rightarrow{\frac{1}{7.L_2}}

para obtermos a matriz abaixo que tem a matriz dos coeficientes equivalente a matriz identidade o que resolve simultaneamente os dois sistemas lineares

\begin{pmatrix}1&0&|&6&4\\0&1&|&-5&-3\end{pmatrix}.

Portanto, as soluções dos sistemas lineares são, para o primeiro sistema linear, 

a=6     ,     b=-5.

e, para o segundo sistema linear

c=4     ,       d=-3

Portanto, a matriz mudança de base procurada é formada pelas colunas das respectivas soluções, ou seja:

[C]_A^B=\begin{pmatrix}6&4\\-5&-3\end{pmatrix}.




USANDO TECNOLOGIAS.


      Clique na figura abaixo e utilize o MPD  que faz os cálculos para a  obtenção de matrizes mudança de base no R^2





       Este outro MPD pode ser utilizado para a obtenção de matrizes mudança de base no R^3 (clique na figura)






A inversa da matriz de mudança de base


Procedendo de forma análoga, chegamos a relação

[v]_B=[{I}]_B^A[v]_A

As matrizes mudanças de base são inversíveis e 

([{I}]_A^B)^{-1}=[{I}]_B^A.

Acompanhe os exemplos:  

   






 





 

 
Última atualização em Qua, 19 de Outubro de 2011 08:53
 

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