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Álgebra Linear - Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Ovídio Filho   
Qui, 10 de Junho de 2010 11:17


Questão 1: 

              a) Verifique se o vetor u=(1,1,0) é combinação linear dos vetores

v_1=(4,2,-3),          v_2=(2,1,-2)       e          v_3=(-2,1,0)


              b) Caso exista, escreva a combinação linear.

 
Solução


a)  Devemos verificar a existência de números reais x_1,   x_2  e x_3, tais que  


x_1(4,2,-3)+x_2(2,1,-2)+x_3(-2,1,0)=(1,1,0)


que equivale a resolvermos o sistema linear
 


Na sequência, vamos aplicar o Método de Gauss sobre a matriz aumentada A* abaixo 






obtemos a matriz

continuando,


obtemos a matriz
ainda,


obtemos a matriz

Finalmente, a operação elementar


fornece a matriz equivalente


Observando a matriiz acima vemos que Posto A = Posto A*. Portanto, o sistema é compatível e determinado o que significa que existe a combinação linear.



b)  Para escrever a combinação linear devemos resolver o sistema linear. A última matriz acima é equivalente a matriz inicial, assim, podemos encontrar a solução.

e a solução do sistema linear é:



Portanto, a combinação linear será:

\frac{3}{2}v_1-\frac{9}{4}v_2+\frac{1}{4}v_3=u

que o leitor pode facilmente verificar ao substituir os vetores na  expressão acima.



Questão 2:  Considere a matriz

A=\begin{pmatrix}4&1\\2&a_{22}\end{pmatrix}

com  

a_{22}=3   e   a_{22}=5.

   
Encontre o traço, o determinante, o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autovetores.


Solução

Inicialmente consideramos a_{22}=3.  Para esta matriz


 

O traço e o determinante são

 

que forma o polinômio característico

p(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10=0

cujas raízes são os autovalores

 

Os respectivos autovetores são

(A-5I)v_1=0,     ou seja   v_1=m_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\,\,\,\,\,\,m_1\in R

e

(A-2I)v_2=0    ou seja,   v_2=m_2\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix},\,\,\,\,\,\,m_2\in R
 

que estão representadas na figura abaixo



 Para o caso em que a_{22}=5, isto é, para a matriz



O traço e o determinante são


que forma o polinômio característico

p(\lambda)=\lambda^2-9\lambda+18=0

cujas raízes são os autovalores


Os respectivos autovetores são

(A-6I)v_1=0    isto é,   v_1=m_1\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\,\,\,\,\,\,m_1\in R

e

(A-3I)v_2=0    isto é,    v_2=m_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\,\,\,\,\,\,m_2\in R
 

que estão representadas na figura abaixo
Última atualização em Qui, 10 de Junho de 2010 17:36
 

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