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Combinação Linear Imprimir E-mail
Conteúdos de Álgebra Linear
Escrito por Equipe IGM   
Qui, 27 de Maio de 2010 15:27

Uma combinação linear de vetores x,y,z,...,w é simplesmente uma soma de múltiplos escalares de x,y,z,...,w.
 
Em linguagem matemática, dizemos que o vetor   é combinação linear dos vetores x, y, z, ..., w se existem números a, b, c, ..., l tais que

v =ax+by+cz+ ... + lw
 

ou seja, se a equação acima, que é um sistema linear, possui solução.


Observe que combinação linear de vetores é uma palavra que generaliza a idéia de múltiplo de um vetor (temos mais de uma parcela)



v =ax


e é utilizada quando temos dois ou mais vetores.


Vejamos um exemplo:  Dados os vetores  x, y, z  e  w  abaixo:




O problema equivale a resolver a equação linear




cuja solução pode ser acompanhada na sequência





Agora, basta verificarmos as contas, isto é, entre com os valores de a, b e c para verificar seus cálculos, acompanhe:




Portanto,  os vetores  x=(-10,8,0), y=(-6,4,-6) e z=(6,-7,-4)  é combinação linear do vetor  w=(-1,5,-1). 

Observe que para verificarmos a existência de combinação linear de vetores é necessário verificarmos a existência de soluções de sistemas lineares (teorema de Frobenius) e, em caso positivo exibirmos esta solução (método de Gauss).

Acompanhe estes outros exeplos:




De fato, aplicando o Teorema de Frobenius, temos que






 




Use o MPD para aplicar o Teorema de Frobenius












Um outro exemplo:   Quais dos seguintes vetores:

 a) u=(1,1,1)                 b) v=(-1,2,3)                 


é combinação linear dos vetores:

 
v_1=(4,2,-3),   v_2=(2,1,-2)   e   v_3=(-2,-1,0)


Solução:

a)  Basta verificarmos se o sistema linear 

x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=u   ou seja,   x_1(4,2,-3)+x_2(2,1,-2)+x_3(-2,-1,0)=(1,1,1)


isto é,


tem solução.


A matriz  dos coeficientes A e a matriz aumentada do distema A* são, respectivamente, 



Usando o Teorema de Frobenius vemos que



Portanto, não existe a combinação linear.
 
_________________________


b)  Como antes, devemos verificar se o sistema linear 

x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3=v   ou seja,   x_1(4,2,-3)+x_2(2,1,-2)+x_3(-2,-1,0)=(-1,2,3)



isto é,


tem solução.

Agora, a matriz  dos coeficientes A e a matriz aumentada do distema A* são, respectivamente, 



Usando o Teorema de Frobenius vemos que



Portanto, como no caso anterior, também não existe a combinação linear.






Finalmente, considere os vetores v_1=(7.5;-2.7) e v_2=(-0.7;1,7). Temos que o vetor u=(3.3;4) escrito como combinação linear de v_1 e v_2 é



 

u=0.8v_1+3.56v_2


Veja os vetores v_1  ,  v_2  e  u desenhados do lado esquerdo da figura e posicionados juntos do lado direito (observe que combinação linear é uma generalização do conceito de soma de vetores).



 

As contas necessárias para encontrar esta combinação linear, ou seja, os valores de a=0.8 e b=3.56consiste em encontrar a solução única de um sistema linear como é mostrado abaixo.


 



 

Clique em uma das últimas figuras para acessar o MPD que faz os cálculos necessárias para outros inúmeros exemplos.

Estas são definições básicas para compreendermos outros conceitos importantes de álgebra linear como o de dimensão, de base ( conjunto de vetores \{v_1,v_2\}) bem como de coordenadas ( a=0.8 e b=3.56 ) que veremos em um outro artigo.



 

 

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