top
logo

Moodle IGM

Usuário:


Senha:


 

O IGM dá suporte acadêmico a professores e alunos de duas universidades. Isto ocorre porque o nosso diretor-presidente, professor Ovídio Filho, trabalha com elas.


Home
Intervalos de confiança e tamanho de amostras Imprimir E-mail
Estatística - Distribuição normal
Escrito por Equipe IGM   
Sex, 26 de Março de 2010 09:33

 

Intervalos de confiança e tamanho de amostra



Neste artigo, você começará seu estudo de estatística inferencial (o segundo mair ramo da estatística). Por exemplo, a partir de uma média de uma amostra em colheitas recentes, a secretaria de agricultura do estado de Goiás pode estimar a média atingida pela colheita como sendo de 43 toneladas por alqueire para todo trigo no outono de 2010. Uma vez que esta estimativa consiste em um único número ela pode ser chamada de estimativa pontual. O problema com o uso de estimativa pontual é que ela raramente se iguala ao parâmetro exato (média, desvio padrão, proporção, etc) da população.

Nossa meta é fazer uma estimativa mais significativa por meio da especificação do intervalo de valores junto com uma afirmativa da confiança que você tem de que o intervalo contém o parâmetro populacional. 

Suponha que a secretaria de agricultura do estado de Goiás deseje ter 90% de confiança de que sua estimativa para a média atinja todo o trigo de 2010. Vamos explorar uma técnica de como é possível construir uma estimativa intervalar. Assim, determinamos a média de uma amostra aleatória, determinamos a margem de erro, as extremidades dos intervalos, formamos uma estimativa intervalar. Portanto, a secretaria de agricultura do estado de Goiás pode ter uma confiança de 90% que a média atingida por todo o trigo em 2010 está entre os extremos do intervalo por hectare.



Intervalo de confiança para a média (amostras grandes)


Uma ESTIMATIVA PONTUAL é uma estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A estimativa pontual menos enviesada da média populacional \mu é a média amostral  \bar{x}
  
Uma ESTIMATIVA INTERVALAR  é um intervalo de valores usado para estimar um parâmetro populacional.


O NÍVEL DE CONFIANÇA   c    é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional. Da teoria de estatística, sabemos que se n\geq{30} a distribuição amostral de médias amostrais é uma distribuição normal.  O nível de confiança c é é a área sob a curva normal padrão enre os valores críticos  -Z_c  e  Z_c. Como a área remanescente é  1-c concluimos que , a área em cada cauda é \frac{1}{2}(1-c)

Por exemplo, se c=90% então os 5% da área estão a esquerda de -Z_c=-1,645  e  5% estão a direita de Z_c=1,645 (veja a Figura abaixo onde \alpha=1-c).




Clique na Figura para acessar o MPD



Obviamente, existe uma distância máxima entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro real, ou seja seja, \bar{x}-\mu que chamamos de ERRO DA ESTIMATIVA   , na maioria dos casos reais o número médio populacional  \mu é  desconhecido  e  a média \bar{x} varia de amostra para amostra. Entretanto, você poderá calcular um valor máximo para o erro E se souber o nível de confiança e a distribuição amostral. Este erro é dado pela fórmula

E=z_c\sigma_{\bar{x}}=z_c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}




Intervalos de confiança para a média populacional



O intervalo de confiança para a média populacional n\geq{30} é o intervalo:

\bar{x}-E<\mu<\bar{x}+E 


A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha \mu é c.


O que segue resume em como obter um intervalo de confiança para uma média populacional ({/tex}n\leq{30}{/tex} ou \mu conhecido como uma população distribuída normalmente).


         1.  Obtenha as estatísticas amostrais  {/tex}n{/tex},  a média \bar{x} e o desvio padrão \sigma.

         2.  Detemine o valor crítico  z_c que corresponde ao nível de confiança determinado.

         3.  Determine o erro máximo de estimativa E.

         4. Determine os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de confiança \bar{x}-E<\mu<\bar{x}+E


A figura que segue mostra os cálculos do Erro E e a construção do intervalo de confiança, obtidos para uma amostra de tamanhos n=54 com média \bar{x}=12,4  desvio padrão \sigma=5  e um nível de confiança de 95% (que corresponde a um escore z=1,96). 




Clique na Figura para acessar o MPD que calcula o erro E




OBSERVAÇÃO:  Quando n\leq{30} e o desvio padrão \sigma, o desvio padrão amostral

s=\sqrt{\frac{\Sigma(x-\bar{x})^2}{n-1}}

pode ser usado em lugar de \sigma



Tamanho da Amostra


Para as mesmas amostras estatísticas, A medida que o nível de confiança cresce, o intervalo de confiança se alarga. Mas, a medida que o intervalo de confiança se alarga, a precisão da estimativa diminui.

Uma forma de aumentar a precisão de uma estimativa sem a redução do nível de confiança é ampliar o tamanho da amostra.

Mas quanto precisamos aumentar a amostra para assegurar um certo nível de confiança para um determinado erro máximo de estimativa?  A resposta está na análise correta da fórmula usada para calcular o erro E.

E=z_c\sigma_{\bar{x}}=z_c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Dado um nível de confiança c e um erro máximo de estimativa E, o tamanho da amostra necessária para estimar a média populacional \mu é


n=(\frac{z_{c}\sigma}{E})^2 

Consultando o IBGE verificou-se que o desvio padrão da altura dos homens adultos no Brasil é de 8 cm.  Qual deve ser o tamanho mínimo que deve ter uma amostra de homens brasileiros para que o erro cometido ao estimar a altura média seja de 1 cm com um nível de confiança de 90%?

Observe que precisamos entrar com o valor do escore z=1.645 (observado em tabela e, neste curso, utilizando o MPD: cálculo do escore z) correspondente ao nível de confiança de 90%.

A figura abaixo mostra os cálculos e o valor do tamanho mínimo da amostra que é de 173 habitantes. 




Clique na Figura para acessar o MPD


O mesmo resultado com o cálculo do tamanho da amostra igual a 174 é mostrado na figura abaixo onde não foi necessário calcular o escore z. A diferença entre os valores se deve ao arredondamento para o valor maior o que é mais recomendado. (o valor da média da amostra não interfere no resultado mas, se utilizado, mostra corretamente o intervalo do nível de confiança para o tamanho mínimo da amostra especificado).





Clique na Figura para acessar o MPD





OBSERVAÇÃO:  Se o desvio padrão \sigma é desconhecido, você pode estimá-lo usando o desvio padrão amostral

s=\sqrt{\frac{\Sigma(x-\bar{x})^2}{n-1}},

desde que tenha uma amostra preliminar superior a 30 membros.   





EXEMPLOS


 

Exemplo 1.

Pesquisadores de mercado usam o número de frases por propaganda como maneira de medir a legibilidade dos anúncios em revistas. Os dados a seguir representam uma amostra aleatória do número de sentenças encontradas em 54 anúncios. Obtenha uma estimativa pontual da média populacional µ.


9      20     18     16      9    16     16      9     11    13     22     16     5     18      6     6      5       12    25    17     23       7    10      9     10     10      5    11     18     18     9       9     17    13    11      7   14      6     11      12     11    15      6     12    14    11       4       9    18     12    12    17    11     20 



Exemplo 2.

Use os dados do Exemplo 1 e o nível de confiança de 95% para obter o erro máximo da estimativa do número médio de sentenças em todos os anúncios de revistas. 



Exemplo 3.

Construa um intervalo de confiança de 95% para o número médio de sentenças em todos os anúncios de revistas. 



Exemplo 4.

Use um MPD  adequado para construir um intervalo de confiança de 99% para um número médio de sentenças em todos os anúncios em revistas aplicando a amostra do Exemplo 1. 



Exemplo 5.

O diretor do comitê de admissão da PUC Goiás deseja estimar a idade média de todos os estudantes aprovados no momento. Em uma aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada foi de 22,9 anos. A partir de estudos passados, sabe-se que o desvio padrão é de 1,5 ano e que a população está normalmente distribuída. Construa um intervalo de confiança de 90% da idade média dos estudantes.



 Exemplo 6.

Você deseja calcular o número médio de frases em anúncios em revistas. Quantos anúncios devem ser incluídos na amostra se você quer ter 95% de confiança de que a média amostral esteja dentro do intervalo de uma sentença da média populacional.

 

 






Última atualização em Sáb, 27 de Março de 2010 12:49
 

bottom
top

Páginas Recentes


bottom

Fornecido por Joomla!. Designed by: Free Joomla Template, smtp server. Valid XHTML and CSS.