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Equações Diferenciais - Conteúdos de Equações Diferenciais

Escrito por Equipe IGM

Seg, 01 de Março de 2010 15:47

Campo de vetores

Podemos verificar que a equação diferencial

$[ frac{dy}{dt} = y ]$

tem soluções da forma exponencial forma exponencial

Encontrar as soluções de uma equação difernecial não é uma tarefa muito simples. Neste sentido vamos construir algumas ferramentas que nos permita compreender o comportamento das suluções da equação diferencial mesmo sem encontrar explicitamente esta solução.

Vejamos algumas idéias

Quando olhamos a equação diferencial

$[ frac{dy}{dt} = y ]$

observamos que a inclinação $ dy/dt $ é a reta tangente à curva solução $ y(t) $ .

Desta forma, esta equação nos informa que a inclinação é numericamente igual ao valor da função em cada ponto! Por exemplo, podemos montar uma tabela que associa valores da função com os respectivos valores da inclinação:

Valor de	0	1	2
Valor de	0	1	2

Isto significa que se quizermos olhar uma solução que passa no ponto $ y=1 $ para qualquer tempo $ t $ , então a inclinação da solução neste ponto é dado por $ dy/dt = y = 1 $ , (e de forma similar para todos os outro valores).

Notamos, em particular, que esa propriedade independe do tempo em que olhamos para a solução.

A equação diferencial na verdade dá informações sobre uma coleção de retas tangentes! As inclinações das retas tangentes estão conectadas a seus valores no plano $ yt $ , e não dependem dos valores da variável independente $ t $ .

Mas o que isto significa? Como podemos usar estas retas tangentes para compreender ocomportamento das soluções?

O campo de vetores

Suponha que desenhamos uma coleção de vetores tangentes (veja a figura 1). Esta coleção é chamada um campo de vetores uma vez que elas dão um sentido de direção no plano $ yt $ . Recorde que para todo valor inicial $ y(0)=y_o $ , existe uma função exponencial específica $y(t)=y_o e^{t}$ .

Obeserve, por exemplo, que o gráfico de uma solução da EDO que passa pelo valor inicial $(2,3)$ tem inclinação $\theta=\dot{x}=3$ ou seja $\theta=arctg(3)$ neste ponto e a solução que passa por $(0,\frac{1}{2})$ tem inclinação $\theta=\dot{x}=\frac{1}{2}$ ou seja $\theta=arctg(\frac{1}{2})$ .

Na sequência, mostramos algumas destas curvas específicas na figura 1 abaixo. Obseve que as curvas são "guiadas pelo" campo de direção. Podemos dizer que:

Uma solução da equação diferencial $ dy/dt = y $

tem um gráfico cujas retas tangentes em qualquer ponto é o campo de direção da figura 1 abaixo.

Figura 1

Responda:

(1) Troque o valor inicial da solução, é verdade que as soluções sempre seguem a direção descritas pelos segmentos de retas vermelhos?
(2) Qual é a inclinação da solução que passa pelo valor inicial ?
(3) O que ocorre com a inclinação da curva para um valor inicial negativo?

Um segundo exemplo

Para fixarmos a idéia do campo de direção vamos analisar este segundo exemplo. Considere a EDO

$[ frac{dy}{dt} = - frac{1}{2} y ]$

Podemos verificar que as soluções da EDO são da forma

$[ y(t) = y_o e^{-frac{1}{2}t} ]$

Mas vamos supor que momentaneamente não sabemos encontrar tais soluções. Novamente, vamos usar as idéias do exemplo 1 para compreender o comportamento das soluções. Construimos uma tabela similar dos valores da função $ y $ e das suas inclinações $ dy/dt $ . Neste caso, obtemos:

Valores de	0	1	2	3
Valores de	0	-1/2	-1	-3/2

Agora, em cada valor de $ y $ na tabela, (e em alguns outros não mostrados na tabela) nós podemos novamente desenhar um pequena representação da reta que corresponda a inclinação. O resultado, quando desenhamos todos eles no plano $ yt $ é dado na figura 2:

Figura 2

Você pode observar agora que, todas as inclinações são negativas no primeiro quadrante o que significa que qualquer solução iniciando com um valor positivo de $ y $

será "guiado" na direção do eixo t . ou seja, para $ y=0 $

Responda:

(1) Experimente para vários valores iniciais. As curvas das soluções são sempre tangentes aos vetores vermelhos?
(2) Qual é a inclinação inicial da solução que tem valor inicial ?
(3) Qual seria a inclinação inicial da curva se o valor inicial de for negativo?

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Usando Tecnologias

Para desenhar cada vetor: Após escolher a Condição Inicial $(t_o,x_0)$ e calcular o valor da derivada $\dot{x}=f(t_o,x_0)$ desenhe, no ponto $(t_o,x_0)$ , o vetor $(1,\dot{x})$ . (Veja o MPD abaixo).

O MPD abaixo mostra campos vetoriais e soluções de um conjunto Equações Diferenciais. Você seleciona a EDO na parte inferior. Viajando com o mouse pelo plano tx você pode notar o vetor tangente a solução para cada condição inicial na parte superior direita e logo abaixo o valor de $\dot{x}$ calculado em cada condição inicial $(t_0,x_0)$ . Escolha a condição inicial que você deseja e clique com o mouse para desenhar o vetor. Caso deseje desenhar também a solução, marque o botão "solutions" na parte inferior direita do MPD. Para ver o Campo Vetorial completo clique em "Draw Field".

As idéias discutidas aqui formam as primeiras discussões de uma abordagem moderna chamada análise qualitativa das equações diferenciais. Obviamente, esta idéias necessitam de computadores e são idéias modernas e avançadas.

_______________

Este outro MPD ilustra campos vetoriais e soluções de um conjunto de seis Equações Diferenciais. Você seleciona a EDO na parte superior e em seguida veja a solução no lado inferior direito. Viajando com o mouse no plano tx (a parte preta do MPD) você pode notar o vetor tangente a solução para cada condição inicial $(t_0,x_0)$ .

Para ver a solução clique com o mouse em uma condição inicial $(t_0,x_0)$ . Para ver o Campo Vetorial completo clique em "Draw Field".

Veremos que estas idéias são bastante úteis para compreendermos o comportamento de casos mais complicados que não são normalmente tratados pelos aspectos algébricos.

Última atualização em Qua, 03 de Março de 2010 10:15

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