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Método de Cramer


Home Álgebra Linear
O Método de Gauss Imprimir E-mail
Escrito por Equipe IGM   
Sex, 29 de Janeiro de 2010 09:32

O método de Gauss é uma generalização do método de redução, que consiste em eliminar uma incógnita nos sistemas de duas equações com duas incógnitas. Consiste na aplicação sucessiva do método de redução, utilizando os critérios de equivalência de sistemas, para transformar a matriz ampliada com os termos independentes ( A* ) em uma matriz triangular, de modo que cada linha (equação) tenha uma incógnita a menos que a imediatamente anterior. Obtemos assim um sistema, que chamaremos escalonado, tal que a última equação tem  uma única incógnita, a penúltima duas incógnitas, a antepenúltima três incógnitas, ...,  e a primeira todas as incógnitas.

Na seqüência apresentamos um método conhecido como Método de Gauss utilizado para resolver um sistema de equações lineares.

Partimos, inicialmente, de um sistema de  n  equações lineares com  n  incógnitas,  compatível e determinado:

 

sistema_4

 

Inicialmente, aplicamos sucessivamente o método de redução, eliminando em todas as equações.exceto na primeira, a incógnita  x1 obtendo, desta forma, um sistema equivalente:

 

gauss_1


Em seguida, aplicamos de forma sucessiva, o método de redução, eliminando em todas as equações, exceto nas duas primeiras, a incógnita  x2, obtendo-se um sistema equivalente:

 

gauss_2


Aplicando mais uma vez o método de redução, eliminamos em todas as equações, exceto nas três primeiras, a incógnita  x3,  e assim sucessivamente, até obter o seguinte sistema equivalente:

 

gauss_3


Para resolver o sistema acima, encontramos a única incógnita da última equação. Assim, substituímos esta incógnita na penúltima equação e encontramos outra incógnita. Posteriormente, substituímos duas das três incógnitas da antepenúltima equação por seus valores e encontramos a terceira incógnita e assim sucessivamente até chegarmos na primeira equação.

Veja este exemplo a seguir.

Temos visto como podemos resolver um sistema compatível e determinado aplicando o Método de Gauss. Cómo podemos discutir a compatibilidade ou  o incompatibilidade de qualquer sistema de equações lineares?

Consideremos um sistema de  m  equações lineares com  n  incógnitas:

 

sistema_3


Seja  A* a matriz ampliada do sistema com os termos independentes, ou seja:

 

sistema_2


As operações elementares que podemos realizar nesta matriz para transformar o sistema inicial em outro equivalente são as seguintes:

·         Multiplicar  uma linha por um número real diferente de zero.

·         Somar ou subtrair a uma linha outra linha.

·         Somar a uma linha outra linha multiplicada por um número diferente de zero.

·         Trocar a ordem de duas linhas.

·         Trocar a ordem das colunas que correspondem as incógnitas do sistema, levando em consideração as trocas realizadas na hora de escolher o novo sistema equivalente. Assim se, por exemplo, a 2ª coluna corresponde a incógnita  y  e a terceira a incógnita   z, e trocarmos a ordem das colunas, agora a 2ª coluna corresponde a incógnita  z  e a terceira a incógnita  y.

·         Eliminar linhas proporcionais ou que sejam combinações lineares de outras linhas.

·         Eliminar linhas nulas  (0  0  0  ...  0).


O exemplo abaixo mostra a solução de uma sistema linear pelo método de Gauss. Para que você mesmo manipule outros sistemas lineares, clique na figura e acesse o MPD. 



Após realizar as

operações elementares que se considerarmos pertinentes, obtermos um sistema escalonado. Supondo que houvéssemos eliminado, as linhas nulas  (0  0  0  ...  0),  que correspondem a equações do tipo  0 = 0, o sistema equivalente tem agora  k  equações lineares com  n  incógnitas. Analisando o sistema resultante, podemos fazer uma discussão do seguinte modo:

·         Se alguma das equações do tipo   0 = b  (sendo  b  diferente de zero), o sistema é  incompatível e não tem solução.

Vejamos e um exemplo:

Caso não tiver equações do tipo  0 = b, e tivermos   k = n, ou seja, o número de equações do sistema equivalente é igual ao número de incógnitas, o sistema é compatível e determinado e, portanto, tem uma única solução.

Segue um exemplo desta situação.

·         Se não houver equações do tipo  0 = b  e  k < n, ou seja, o número de equações é menor que o número de incógnitas, o sistema é compatível e indeterminado e, como conseqüência, tem infinitas soluções. Neste caso, temos que separar as incógnitas principais das não principais. Mas, quais são as incógnitas principais? Podemos usar o seguinte critério: Se o sistema é escalonado e tem  k  equações, as  k  primeiras incógnitas serão as principais e as  n - k  (grau de liberdade) restantes serão não principais que passaremos ao segundo membro como parâmetros ou variáveis livres.

 

A Figura abaixo exibe um sistema Linear que para ser resolvido usando as etapas acima descritas utiliza o MPD que pode ser acessado ao clicar na figura.

O MPD  faz uma discussão e resolve qualquer  sistema de equações lineares com dois, três, quatro ou cinco equações lineares com duas, três, quatro ou cinco incógnitas, que sejam compatíveis (determinado ou  indeterminado), aplicando o Método de Gauss.

Para utilizar o MPD, escolha na parte superior o número de equações do sistema e o número de incógnitas. Para alterar o sistema, use as setinhas da parte inferior ou, caso use o teclado, aperte a tecla ENTER depois de digitar cada número. Na parte superior, clique na setinha azul para obter os passos necessários: No passo 15 o MPD indica se o Sistema Linear é ou não compatível. No passo 16, o MPD fornece a solução. 

 

 

Clique para acessar o MPD

 

 



 




 

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