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Home Coordenadas em três dimensões
Coordenadas Cilíndricas Imprimir E-mail
Cálculo - Coordenadas em R3
Escrito por Equipe IGM   
Seg, 04 de Janeiro de 2010 14:06

 

Coordenadas cartesianas  e cilíndricas. 

 

Um ponto P(x_1,y_1,z_1) em Coordenadas Cartesianas resulta da interseção de três planos definidos por

x=x_1,   y=y_1    e    z=z_1..  

 

Veja a Figura 1

 

 

Figura 1 :  O Ponto P(x,y,z)  em  Coordenadas Cartesianas

 

 

Para efeito de cálculos, programação de computadores ou equipamentos físicos, muitas vezes é conveniente identificar o ponto P em outros sistemas de Coordenadas. As mais conhecidas são:

 

Coordenadas Cilíndricas. 

 

A versão no espaço tridimensional do sistema coordenadas polares do plano é chamada o sistema de coordenadas cilíndricas.

Por meio deste sistema, um ponto do plano é determinado pela sua distância do eixo z, um ângulo (no sentido anti-horário do eixo x até o vetor de posição de ponto) e sua distância (observando o sinal) com relação ao plano XY (altura na direção do eixo z).

Assim, um ponto P(r_1, \phi_1,z_1) resulta da interseção de:

  • Uma superfície cilíndrica de raio r_1 cujo centro é o eixo z, ou seja, o centro é (0,0,z);
  • Um semiplano contendo o eixo z e fazendo um ângulo \phi_1 com o plano xz;
  • Um plano paralelo ao plano xy ou seja, z=z_1. 

 Veja a Figura 2.

 

Figura 2:   O Ponto P(r_1,\phi_1,z_1) em  Coordenadas Cilíndricas

 

 Para efeitos de cálculos interativos, podemos visualizar a Figura 2 acima com as notações descritas na Figura 3 abaixo.  

 

Figura 3:  O Ponto P=(x,y,z) em coordenadas cilíndricas

         

Não e difícil ver que podemos relacionar as Coordenadas Cartesianas e cilíndricras.

As próximas duas figuras  (Figura 4 e Figura 5) ilustram estas importantes relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas:

 

x=r\cos(\theta),    y=rsen(\theta)    e     z=z_0=h,        

 

 

                                Figura 5:  As relações entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas

 

Você pode explorar os próximos dois MPD para visualizar e compreender melhor as coordenadas cilíndricas.

 

Coordenadas cilindricas 1

 

 

Coordenadas cilíndricas 2

 

Clicando na Figura 6 abaixo, pode-se utilizar o MPD que faz as contas necessárias para converter as Coordenadas Cartesianas em Coordenadas Cilíndricas.

 

 

Figura 6:  Clique na Figura para acessar o MPD que converte as coordenadas cartesianas em cilíndricas

 

Clicando agora na Figura 7,  acessamos o MPD que faz os cálculos ao contrário, ou seja,  converte Coordenadas Cilíndricas em Coordenadas Cartesianas.

 

 

 

Figura 7:  Clique na figura e acesse o MPD que converte as coordenadas cilíndricas do ponto P(x,y,z) em coordenadas cartesianas

 

Acompanhe atentamente as próximas figuras  que fazem uma animação das mudanças ocorridas com as coordenadas cilíndricas fixando duas delas e deixando a outra variar livremente em um intervalo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Última atualização em Seg, 07 de Maio de 2012 16:23
 

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