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Séries de Taylor Imprimir E-mail
Conteúdos de Variáveis Complexas
Escrito por Equipe IGM   
Sex, 13 de Novembro de 2009 10:19

Séries de Taylor.

Teorema:
Seja $ f$ uma função analítica em um ponto $ z_0$ .  Considere $ C$ uma curva centrada em  $ z_0$  e raio R tal que  $ f$ i é analítica em todos os pontos interiores de  $ C$.  Então, existe uma série de potências
 
$ underset{k geq 0}{sum} a_k (z-z_0)^k$
que converge para $ f(z)$ in $ C$ .

Esta série é única e é chamada Série de Taylor da função $ f$  em $ z_0$ .  Os coeficientes desta série são calculados pela fórmula:


$displaystyle a_n = frac {f^{(n)}(z_0)}{n!}.$

A série de Taylor de uma função em 0 é chamada Série de Maclaurin da função  $ f$ .


Exemplo  1  (Séries de Maclaurin)       

  1. $ e^z = 1 + z + frac {z^2}{2!} + frac {z^3}{3!} + frac {z^4}{4!} + dots = underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}} frac {z^n}{n!}$ .
  2. $ cos z = 1 - frac {z^2}{2!} + frac {z^4}{4!} - dots =underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}} (-1)^nfrac {z^{2n}}{(2n)!}$ .
  3. $ sin z = z - frac {z^3}{3!} + frac {z^5}{5!} - dots = underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}} (-1)^nfrac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ .
  4. $ cosh z = 1 + frac {z^2}{2!} + frac {z^4}{4!} + dots = underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}}frac {z^{2n}}{(2n)!}$ .
  5. $ sinh z = z + frac {z^3}{3!} + frac {z^5}{5!} + dots =underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}} frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ .
  6. $ frac {1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + dots = underset{n=0}{overset{+ infty}{sum}} z^n$ .
  7. $ log (1+z) = z -frac {z^2}{2} + frac {z^3}{3} - frac {z^4}{4} + dots = underset{n=1}{overset{+ infty}{sum}} (-1)^{n+1} frac {z^n}{n}$ .
  8. $ (1+z)^{alpha} = 1 + alpha z + frac {alpha (alpha -1)}{2!} z^2 + frac {alpha (alpha -1)(alpha -2}{3!} z^3 + dots$ .


Propriedades: 

  1. Derive termo a termo uma série de Taylor de $ f(z)$ em $ z_0$ para obter a série de Taylor da sua derivada $ f'(z)$  no pmesmo ponto.  O raio de convergência de ambas as séries é o mesmo..
  2. A série de de $ f(z)+g(z)$  é a soma das séries de Taylor das funções $ f(z)$ e  de $ g(z)$ .
  3. A série de Taylor do produto das funções $ f(z)g(z)$ é o produto das séries de Taylor $ f(z)$ e de $ g(z)$ .
  4. Se $ g(z_0) neq 0$ , a série de Taylor do quociente$ f(z)/g(z)$  é o quociente das séries de Taylor  de $ f(z)$ pela série de Taylor  de $ g(z)$

 

Exemplo 2   Calcule a Série de Maclaurin de $ f(z)=sin z cdot e^z$ .    Temos que
$displaystyle sin z cdot e^z$$displaystyle = left( z - frac {z^3}{3!} + frac {z^5}{5!} - dots right) left( 1 + z + frac {z^2}{2!} + frac {z^3}{3!} + frac {z^4}{4!} + dots right)$   
$displaystyle quad$$displaystyle = z +z^2+frac {z^3}{3}-frac {z^5}{30}-frac{z^7}{630}+dots$   



O próximo exemplo mostra que podemos usar as Séries de Taylor para calcular limites:


 Exemplo  3    Seja Let $ f(z)= frac {e^z-1}{sin z}$ .    Vamos calcular o $ underset{z rightarrow 0}{lim} f(z)$ .

Temos que:


$displaystyle f(z)$$displaystyle = frac {z + frac {z^2}{2!} + frac {z^3}{3!} + frac {z^4}{4!} + dots} {z + frac {z^3}{3!} + frac {z^5}{5!} + dots}$   
$displaystyle quad$$displaystyle = frac {1 + frac {z}{2!} + frac {z^2}{3!} + frac {z^3}{4!} + dots} {1 + frac {z^2}{3!} + frac {z^4}{5!} + dots}$   


Portanto $ underset{z rightarrow 0}{lim} f(z)=1$ .

 Exemplo 4   Considere a série 


$displaystyle sin z = z + frac {z^3}{3!} + frac {z^5}{5!} + dots$   


 


Diferenciando termo a termo, obtemos:


$displaystyle cos z = 1 - frac {z^2}{2!} + frac {z^4}{4!} - dots$

Exemplo 5   Considere a função $ f(z)=frac {1}{1+z^2}$ .  A Série de MacLaurin de  $ f(z)$ é:


$displaystyle f(z)=frac {1}{1+z^2} = 1-z^2+z^4-z^6 + dots + (-1)^nz^{2n} + dots$   


 


Integrando termo a termos, obtemos a série do arctan z:


$displaystyle arctan z = z - frac 13 z^3 + frac 15 z^5 - frac 17 x^7 + dots + frac {(-1)^n}{2n+1} z^{2n+1} + dots$

Exercício 1:  Determine a expansão em série de Maclaurin de f(z)=\frac{1}{(1-z)^2}.

Diferenciando ambos os lados da função 6 do exemplo 1 f(z)=\frac{1}{1-z}, obtemos

\frac{1}{(1-z)^2}=1+2z+3z^2+...=


  
Este procedimento pode ser realizado para inúmeros outros exemplos.


Exercício 1:  Determine a expansão em série de Maclaurin de f(z)=\frac{senz}{z^3}.

Esta função não é analítica em z=0 e portanto não pode ser expandida em uma série de Maclaurin. No entanto, senz  é uma função iinteira cuja série de Maclaurin foi descrita no exemplo 1. Dividindo a série do senz   por z^3,  obtemos a seguinte série com potências inteiras positivas e negativas de z
 

f(z)=\frac{senz}{z^3}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-\frac{z^4}{7!}+...


que converge para todo z exceto z=0.
 
Uma representação em série de uma função f(z) como acima, é um exemplo de uma série de Lautent ou uma expansão Laurent de f(z)=\frac{senz}{z^3}.
 

 



 

Última atualização em Sex, 28 de Maio de 2010 10:58
 

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