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Cálculo de resíduos Imprimir E-mail
Conteúdos de Variáveis Complexas
Escrito por Equipe IGM   
Ter, 10 de Novembro de 2009 13:06

 

Seja  f uma função analítica sobre uma curva simples de Jordan  $ C$  e em todo o seus pontos inteiriores, exceto em z_0

 O resíduo de f em z_0   Res[$ f(z),z_0$ ]  é o número complexo:

 

Res$displaystyle [f(z),z_0] = frac {1}{2 pi i} int_C f(z) ; dz$

 

Como calcular os resíduos rapidamente?
  1. Se f tem um polo de ordem 1 em  z_0, então:

     

    Res$displaystyle [f(z),z_0]= underset{z rightarrow z_0}{text{lim}} (z-z_0)f(z).$   

     

  2. Se $ f$  tem um polo de ordem 2 em  $ z_0$ ,   então:

     

    Res$displaystyle [f(z),z_0]= underset{z rightarrow z_0}{text{lim}} frac {d}{dz}((z-z_0)^2f(z)).$   

     

  3. Se  $ f$  tem um polo de ordem  n  em  $ z_0$ ,  então:

     

    Res$displaystyle [f(z),z_0]= underset{z rightarrow z_0}{text{lim}} frac {1}{(n-1)!} frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-z_0)^nf(z)).$   

     

  4. Se  $ f(z)=g(z)/h(z)$  tem um polo simples em  $ z_0$ ,  então

     

    Res$displaystyle [f(z),z_0]= frac {g(z_0)}{h'(z_0)}$

 

Por exemplo, consideremos a função

 

f(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2(z-i)}

 

A função tem um polo de ordem 1  em $ i$   e  um polo de ordem 2 em  1;

Os resíduos são:

  • Res$ (f,i)= underset{z rightarrow i}{text{lim}} (z-i)f(z) = underset{z rightarrow i}{text{lim}} frac {e^z}{(z-1)^2(z-3)^3}= 10^{-3}e^i(13-9i). $
  • Res$ (f,1)= underset{z rightarrow 1}{text{lim}} frac {d}{dz} (z-i)^2f(z) = und... ...arrow 1}{text{lim}} frac {d}{dz} frac {e^z}{(z-i)(z-3)^3} = frac{e}{8}(2+i)$



 

Um outro exemplo:



Solução













 

Última atualização em Qua, 24 de Novembro de 2010 17:37
 

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