top
logo

Moodle IGM

Usuário:


Senha:


 

O IGM dá suporte acadêmico a professores e alunos de duas universidades. Isto ocorre porque o nosso diretor-presidente, professor Ovídio Filho, trabalha com elas.

Método de Cramer


Home
Aplicações de Números Complexos na Engenharia Elétrica Imprimir E-mail
Conteúdos de Variáveis Complexas
Escrito por Equipe IGM   
Qui, 13 de Agosto de 2009 11:34

 

 Fasores e Impedância

 

A primeira aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos parece ter sido realizada pelo cientista alemão Hermann von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo Impedância (inventado por Heaviside) assim como os números complexos para os elementos dos circuitos elétricos CA, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos são fundamentais para a Engenharia Elétrica.

 

Recordemos rapidamente os números complexos:

 

 Números complexos

 

As equações algébricas do tipo tex2html_wrap_inline7347 = -3 não possuem soluções no campo dos números reais. Tais equações podem ser resolvidas somente com a introdução de uma unidade imaginária ou operador imaginário, que representamos pelo símbolo j. Por definição j = tex2html_wrap_inline7353 . O produto de um número real por um operador imaginária é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a + jb, onde a e b são números reais, é um número complexo.

O número complexo é representado por:

  equation1769

O número complexo tex2html_wrap_inline7359 é descrito como tendo uma componente real a e uma componente imaginária b, que podem ser representadas por:

  equation1775

  equation1778

A componente imaginária de tex2html_wrap_inline7359 não é jb. Por definição, a componente imaginária é um número real.

Como, qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números reais, podemos representá-lo num sistema de coordenadas cartesianas.

 

Formas de representação dos números complexos

Existem quatro formas de representação dos números complexos:

  1. Forma retangular ou cartesiana
  2. Forma exponencial
  3. Forma polar
  4. Forma trigonométrica

     

Os números complexos representados pela Equação 3.1 estão na forma retangular ou cartesiana.

Para representar na forma exponencial utilizamos a identidade de Euler, ou seja:

  equation1812

Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler pelo número real, A temos:

  equation1817

Comparando a Equação 3.5 com a Equação 3.1 temos:

  equation1827

  equation1830

Elevando as Equações 3.6 e 3.7 ao quadrado e somando, temos:

  equation1837

e

  equation1843

Dividindo a Equação 3.7 pela Equação 3.6:

  equation1854

  equation1859

A representação de um número complexo na forma polar é essencialmente a mesma da forma exponencial, exceto por uma pequena diferença de simbologia, ou seja:

  equation1869

O segundo membro da Equação 3.5 é a própria representação na forma trigonométrica.


Fasores

 

Sejam:

  equation1881

e

  equation1885

A representação gráfica das Equações 3.13 e 3.14 é dada na Figura 2, e conforme sabemos (ver circuitos RC e RL) trata-se de um circuito RL, que passaremos a chamá-lo de circuito indutivo.

figure1901

A análise de um circuito de corrente alternada seria muito trabalhosa se tivéssemos que recorrer sempre a este tipo de gráfico. Assim, o método fasorial vem facilitar bastante a análise.

Sabemos que:

  equation1909

e, por definição:

  equation1915

  equation1919

A partir destas definições a Equação 3.13 pode ser reescrita por:

  equation1928

ou

  equation1933

Da mesma maneira, a Equação 3.14 pode ser escrita sob a forma:

  equation1942

ou

  equation1947

As quantidades tex2html_wrap_inline7379 e tex2html_wrap_inline7381 são definidas respectivamente por fasor de tensão e fasor de corrente.

Portanto:

  equation1961

  equation1968

Então, a representação por diagrama fasorial é dada na Figura 3.

figure1981

Considerando a tensão como referência e efetuando um desenvolvimento análogo para um circuito RC (circuito capacitivo) obtém-se o fasor da corrente dado pela Equação 3.24:

  equation1992

cujo diagrama fasorial é mostrado na Figura 4.

figure2002

Vale ressaltar que:

  • o método fasorial só é aplicável às funções senoidais;
  • os módulos dos fasores tex2html_wrap_inline7383 e tex2html_wrap_inline7385 são valores eficazes ( tex2html_wrap_inline7387 e tex2html_wrap_inline7389 );
  • todas as propriedades dos vetores são aplicáveis nos fasores.  

Impedância

 

A função impedância, ou simplesmente impedância, é a relação entre os fasores da tensão e da corrente.

Portanto:

  equation2029

Para um circuito indutivo, teremos:

  equation2034

ou

  equation2040

A Equação 3.27 representa a impedância na forma exponencial.

As representações nas outras formas são dadas a seguir:

  equation2051

  equation2054

Considerando:

  equation2057

  equation2060

A representação na forma retangular é dada por:

  equation2067

onde R é a resistência e tex2html_wrap_inline7395 é a reatância indutiva.

O valor da reatância indutiva tex2html_wrap_inline7395 depende da frequência e da indutância, assim:

  equation2080

Um desenvolvimento análogo para um circuito capacitivo resulta a função impedância dada pela Equação 3.34:

  equation2092

que colocadas nas outras formas teremos:

  equation2096

  equation2099

  equation2102

tex2html_wrap_inline7399 representa a indutância capacitiva e depende da frequência e da capacitância, assim:

  equation2110

A Equação 3.38 é aplicável quando a capacitância C é dada em farad. Para C em tex2html_wrap_inline7407 temos:

equation2125


 


Última atualização em Qui, 28 de Janeiro de 2010 14:57
 

bottom
top

Páginas Recentes


bottom

Fornecido por Joomla!. Designed by: Free Joomla Template, smtp server. Valid XHTML and CSS.