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Mátodo dos autovalores e autovetores Imprimir E-mail
Conteúdos de Equações Diferenciais
Escrito por Equipe IGM   

 

Considere o sistema Linear Homogêneo

displaymath229

Qualquer solução deve ter a forma

displaymath313,

onde  tex2html_wrap_inline233  é um vetor não nulo que satisfaz a igualdade 

displaymath265

O número  tex2html_wrap_inline275  é chamado de  autovalor da matriz A,  e  tex2html_wrap_inline233  é chamado autovetor associado ao autovalor tex2html_wrap_inline275 da matriz A.  Observe que se  tex2html_wrap_inline233  é um autovetor associado a  tex2html_wrap_inline275,  então  tex2html_wrap_inline333  é também um autovetor associado a  tex2html_wrap_inline275 .  Nossa meta é encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz.

Cálculo dos autovalores

Considere a matriz

displaymath337

e suponha que  tex2html_wrap_inline275 é um autovalor da matriz A.  Então, deve existir um vetor não nulo tex2html_wrap_inline343,  tal que  tex2html_wrap_inline345 . Esta equação pode ser reescrita como um Sistema Linear

displaymath347

que é equivalente ao sistema

displaymath349

Desta forma, ambos  tex2html_wrap_inline291   e  tex2html_wrap_inline353  não podem ser iguais a zero ao mesmo tempo, nós devemos ter o determinante do sistema igual a zero. Daí,

displaymath355,

que reduz ao polinômio

displaymath357.

Observe que o polinômio acima é independente do vetor  tex2html_wrap_inline233 .  Este polinômio é chamado Polinômio característico do Sistema Linear.

Examplo: Encontre o polinômio característico e os autovalores da matriz

displaymath361

Resposta: O polinômio característico é dado por

displaymath363.

Este é um polinômio do segundo grau tendo como raízes tex2html_wrap_inline285   e   tex2html_wrap_inline297  que são os autovalores da matriz.

Cálculo dos autovetores

Sendo tex2html_wrap_inline275  um autovalor da matriz A, um autovetor associado  tex2html_wrap_inline233  é dado pela equação matricial

displaymath377.

Defina tex2html_wrap_inline343. Então,  a equação matricial reduz-se ao Sistema Linear

displaymath347

que é equivalente (tem as mesmas soluções) do sistema

displaymath349

Uma vez que conhecemos  tex2html_wrap_inline275 , temos um sistema com duas variáveis. Recorde que se  tex2html_wrap_inline233  é um autovetor, também é todos os seus múltiplos tex2html_wrap_inline333 .

Examplo: Considere a matriz

displaymath361.

Encontre os autovetores associados ao autovalor  tex2html_wrap_inline297 .

Resposta: Já vimos que  tex2html_wrap_inline297 é um autovalor da matriz. Seja  tex2html_wrap_inline233  um autovetor associado ao autovalor  tex2html_wrap_inline297 . Defina tex2html_wrap_inline343 . Então devemos ter

displaymath403

que reduz-se a uma única equação

displaymath405,

que produz tex2html_wrap_inline301 . Portanto, temos

displaymath409

que são os autovetores associados ao autovalor tex2html_wrap_inline297 .

 


Última atualização em Seg, 18 de Maio de 2009 23:10
 

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