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Home Equações Diferenciais Ordinárias
Regras de derivação PDF Imprimir E-mail
Escrito por Equipe IGM   
Qua, 09 de Maio de 2012 18:37

Em geral, não usamos a definição para calcularmos derivadas. Por isso, vamos apresentar algumas regras de derivação que serão de extrema utilidade na sequência dos estudos de cálculo diferencial.

1.  Se u(x)=c  então   u^{\prime}(x)=0.

2.  Se u(x)=mx+b  com  m,b\in{R}\,\,\,\,e\,\,\,\,m\neq{0}  então   u^{\prime}(x)=m.

De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular. De forma equivalente,

\frac{u(x+t)-u(x)}{t}=\frac{mt}{t}=m

3.  Se  u(x)=x^n  com  n\in{N}  então   u^{\prime}(x)=nx^{n-1}.

4.  Sejam u = u(x) e v = v(x)  funções deriváveis;  então:
     


Derivada de funções compostas


Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: 

u(x)=(x^9+x^6+1)^{1000}

com as regras dadas. 

Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra da soma ou escrever como produto de 1000 polinômios e usar a regra do produto. 

Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. 

Seja 

g(x)=x^{1000}\,\,\,\,e\,\,\,\,f(x)=x^9+x^6+1

é claro que u(x) = (g ◦ f)(x)

Logo, se soubermos derivar a composta  de funções o problema estará resolvido. 

O seguinte teorema, conhecido como regra da cadeia,   nos ensina a derivar uma função  composta  g ◦ f  em termos das derivadas de f e g, que são mais simples.


Regra da cadeia


Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem definida. Se f é derivável em x e g é derivável em f(x), então g ◦ f é derivável em x e:

(g\,o\,f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)).f^{\prime}(x)

Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do teorema, temos que:


\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}


Exemplos:

Vamos calcular a derivada das seguintes funções:

1.  u(x)=x^4+3x+1

2.  u(x)=\frac{1}{x^5}

3.  u(x)=\frac{x^4+3x+1}{x^5}

4.  u(x)=(x^9+x^6+1)^{1000}


Como estamos em 2012, recorremos rapidamente as tecnologias!

Vamos usar o MPD que segue para vermos as propriedades discutidas acima no cálculo de derivadas.  Digite a função e clique em "Calcular derivada".  Clique em "show Steps"  para acompanhar os detalhes.


Derivada de funções


Agora você está preparado para sair por aí resolvendo derivadas! "pelo menos para algumas funções".  Pois como veremos na sequência do curso, ainda há muita água para correr!!!  Boa sorte!








Última atualização em Qua, 09 de Maio de 2012 19:43
 

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